Gradiente di funzione

[_beppe_11]

Salve a tutti,

mancano ormai 2 giorni all'esame di Analisi Matematica II e vorrei estinguere qualche dubbio che mi perseguita da quando sfoglio testi ed appunti . Ad esempio, come si opera per risolvere
$gradint_0^(xy^2)e^(-t^2)dt$?
Se non ricordo male, l'integrale non è esplicitabile per mezzo di funzioni elementari; che sia forse necessario ricorrere al Teorema fondamentale del calcolo integrale? Con Derive ottengo il risultato ma ho bisogno di comprendere la procedura con cui ci si arriva. Insomma, non so proprio come affrontare il problema. Buona Domenica a tutti,

beppe.

[_Tipper]

Data la funzione $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ definita da $f(x,y) = \int_0^{x y^2} e^{-t^2} dt$, risulta

$\frac{\partial}{\partial x} f(x,y) = y^2 e^{-x^2 y^4}$

$\frac{\partial}{\partial y} f(x,y) = 2 x y e^{-x^2 y^4}$

Le derivate parziali sono continue su tutto $\mathbb{R}^2$, pertanto la $f$ è differenziabile ovunque per il teorema del differenziale totale, ed il gradiente coincide con il vettore avente per componenti le derivate parziali, quindi

$\nabla \int_0^{x y^2} e^{-t^2} dt = (y^2 e^{-x^2 y^4}, 2 x y e^{-x^2 y^4})$

[_beppe_11]

"Tipper":Data la funzione $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ definita da $f(x,y) = \int_0^{x y^2} e^{-t^2} dt$, risulta

$\frac{\partial}{\partial x} f(x,y) = y^2 e^{-x^2 y^4}$

$\frac{\partial}{\partial y} f(x,y) = 2 x y e^{-x^2 y^4}$
$

Proprio questo è il passaggio che mi risulta oscuro. Mi pare di capire che, data $f(x,y) = \int_a^{g(x,y)} F(t) dt$, con $f,g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, $F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ed $a$ costante, si ha $\frac{\partial}{\partial x} f(x,y) = F(g(x,y)) frac {d}{dx} g(x,y)$ e $\frac{\partial}{\partial y} f(x,y) = F(g(x,y)) frac {d}{dy} g(x,y)$. Spero che la mia non sia fanta-matematica ...

[_Tipper]

Non è fanta-matematica, è giusto.

[_beppe_11]

Grazie davvero .

[MikeB1]

Scusate, ma come avete trovato una primitiva per $f(t)=e^(-t^2)$ ?

[pat871]

La primitiva di $e^(-t^2)$ non è esprimibile con le funzioni "elementari" (cos, sin, exp, ...) che conosciamo. Ma non vuol dire che non esiste.
Nel suo caso, $f(x,y) = int_0^{xy^2} e^(-t^2) dt$, supponendo che la primitiva di $e^(-t^2)$ sia $F(t)$, abbiamo che
$f(x,y) = F(xy^2) - F(0)$. Calcolando la derivata rispetto a x, ed utilizzando la regola della catena:
$(\partial f)/(\partial x) = (\partial )/(\partial x) (F(xy^2) - F(0)) = e^(-(xy^2)^2)* (\partial )/(\partial x) (xy^2) = e^(-x^2y^4)*y^2$
$(\partial f)/(\partial y) = (\partial )/(\partial y) (F(xy^2) - F(0)) = e^(-(xy^2)^2)* (\partial )/(\partial y) (xy^2) = e^(-x^2y^4)*2yx$
Il tutto senza sapere la primitiva di $e^(-t^2)$.

[MikeB1]

"pat87":La primitiva di $e^(-t^2)$ non è esprimibile con le funzioni "elementari" (cos, sin, exp, ...) che conosciamo. Ma non vuol dire che non esiste.
Nel suo caso, $f(x,y) = int_0^{xy^2} e^(-t^2) dt$, supponendo che la primitiva di $e^(-t^2)$ sia $F(t)$, abbiamo che
$f(x,y) = F(xy^2) - F(0)$. Calcolando la derivata rispetto a x, ed utilizzando la regola della catena:
$(\partial f)/(\partial x) = (\partial )/(\partial x) (F(xy^2) - F(0)) = e^(-(xy^2)^2)* (\partial )/(\partial x) (xy^2) = e^(-x^2y^4)*y^2$
$(\partial f)/(\partial y) = (\partial )/(\partial y) (F(xy^2) - F(0)) = e^(-(xy^2)^2)* (\partial )/(\partial y) (xy^2) = e^(-x^2y^4)*2yx$
Il tutto senza sapere la primitiva di $e^(-t^2)$.

Giusto!Grazie della spiegazione!