Gradiente della norma di una funzione + limite+baricentro

[bimbozza]

Anche oggi ho un po' di problemi con analisi 2. Qualcuno può dirmi come si svolge il primo e dove sbaglio nel secondo e nel terzo?

1)Sia r la norma di X dove X=(x,y,z). Se f(X)=1/r allora il gradiente di f(X) quant'è? e se

[math]f(X)=r^{2e}[/math]

?

Essendo il gradiente il vettore delle derivate parziali, ho pensato di derivare la funzione, ma come derivo la norma? la soluzione del primo è una delle quattro seguenti L'esercizio appartiene ad un test a risposta multipla)

[math]X/r^3 ; -X/r ; X/r ; -X/r^3[/math]

mentre del secondo è tra -ln (norma di X) ; 2X ; X/r ; X. Ho fatto vari tentativi ma proprio non arrivo a nessuno di questi risultati.

2)Sia

[math]f(x,y)= \frac { \cos (xy) -1}{x^2+2y^2}[/math]

allora, quale delle seguenti affermazioni è vera?
a)il limite della funzione con (x,y)->(0,0)=1/2
b)il limite della funzione con (x,y)->(0,0)=0
c)il limite della funzione con (x,y)->(-inf)=1
d)il limite della funzione con (x,y)->(2,pigreco)=-2

dato che

[math]\lim_{x \to 0} \frac {1- cos x}{x}=1[/math]

[math]\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac {( \cos(xy)-1)(-xy)}{(-xy)(x^2+2y^2)}[/math]

[math]\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac {-xy}{x^2+2y^2}[/math]

sostituisco y=mx quindi

[math]\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac {-x^2m}{x^2(1-2m^2)} [/math]

[math]\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac {-m}{1-2m^2} = [/math]

il limite non esiste

escludo quindi la a) e la b)

dato che

[math]\lim_{x \to \infty} \frac {cos x}{x}=0[/math]

[math]\lim_{(x,y) \to \infty} \frac {(\cos(xy)-1)(xy)}{(xy)(x^2+2y^2)}[/math]

[math]\lim_{(x,y) \to \infty} \frac {-1}{(x^2+2y^2}[/math]

=0

escludo quindi anche c) e svolgo l'ultimo limite

[math]\lim_{(x,y) \to (2, \pi)} \frac {\cos(xy)-1}{x^2+2y^2}[/math]

cambio le variabili

[math]x'= x+2[/math]

[math]y'=y+ \pi[/math]

[math]\lim_{(x',y') \to (0, 0)} \frac {\cos((x+2)(y+ \pi))-1}{(x+2)^2+2(y- \pi)^2}[/math]

sfrutto anche qui

[math]\lim_{x \to 0} \frac {1-cos x}{x}=1[/math]

[math]\lim_{(x',y') \to (0,0)} \frac {(\cos((x+2)(y+ \pi))-1)(-(x+2)(y+ \pi))}{(-(x+2)(y+ \pi))((x+2)^2+2(y+ \pi)^2)}[/math]

[math]\lim_{(x',y') \to (0,0)} \frac {-(x+2)(y+ \pi)}{(x+2)^2+2(y+ \pi)^2} [/math]

sostituisco y=mx quindi

[math]\lim_{(x',y') \to (0,0)} \frac {-(x+2)(mx+ \pi)}{(x+2)^2+2(mx+ \pi)^2} [/math]

=

[math] \frac {-\pi}{2+\pi^2}[/math]

insomma, non mi torna nessuna delle varie soluzioni...

3) Il baricentro di

[math]H={(x,y,z) t.c (x-1)^2+(y-1)^2 \le 4, 1\le z \le 2}[/math]

è:
a) (1,1,

[math]pi/2[/math]

) b)(0,0,27/20) c)(1,1,9 \pi ^2/4 ) d) (1,1,27/20)

Il centro della sfera di cui fa parte la calotta in questione è (1,1,0) quindi, data la sua simmetria, il baricentro avrà coordinate (1,1 z) dove z è data da

[math]z= \frac {\int_{H} z\ dG}{area calotta}[/math]

. L'area della calotta è

[math]2 \pi rh [/math]

cioè

[math]4\pi[/math]

. Per calcolare l'integrale passo in coordinate sferiche :

[math]x= \sin (\theta) \cos(phi); y=\sin (\theta) \sin(phi); z=\cos(\theta)[/math]

con

[math]\theta[/math]

compreso tra

[math]\frac{\pi}{4} e \frac{\pi}{2}[/math]

mentre

[math]\phi[/math]

tra

[math] 0 e 2 \pi [/math]

. quindi calcolo l'integrale

[math]\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(phi) \sin(phi) \d \phi \int_{0}^{2 \pi} \d \theta = \frac{\pi}{4}[/math]

quindi il baricentro dovrebbe essere (1,1,1/16) . Dove sbaglio?

[ciampax]

Problema 1) basta applicare la regola di derivazione delle funzioni composte. Per prima cosa, visto che

[math]r(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}[/math]

si ha immediatamente che

[math]r_x=\frac{x}{r},\qquad r_y=\frac{y}{r},\qquad r_z=\frac{z}{r}[/math]

e quindi

[math]\nabla r=\frac{1}{r}(x,y,z)=\frac{X}{r}[/math]

A questo punto puoi usare il fatto che

[math]\nabla(f^{\alpha})=\alpha f^{\alpha-1}\cdot\nabla f[/math]

(è una generalizzazione della derivata di una potenza): per cui

[math]\nabla\frac{1}{r}=\nabla(r^{-1})=-r^{-2}\cdot\nabla r=-\frac{1}{r^2}\cdot\frac{X}{r}=-\frac{X}{r^3}[/math]

Nell'altro caso puoi procedere in modo simile.



Problema 2) Il limite notevole che va applicato è questo

[math]\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}[/math]

.

Quello che hai scritto tu vale zero!

Aggiunto 19 minuti più tardi:

Problema 3)

[math]H[/math]

non è una sfera! E' un cilindro con asse la retta

[math](1,1,z)[/math]

, raggio 2, le cui basi si trovano sui due piani

[math]z=1,\ z=2[/math]

. Oppure manca uno

[math]z^2[/math]

nella prima disequazione? Se è come hai detto, dovrebbe essere

[math]B(1,1,3/2)[/math]

per l'omogeneità del dominio (ma vedo che non è presente nelle risposte, da cui ne deduco che

[math]H=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\ :\ (x-1)^2+(y-1)^2+z^2\le 4,\ 1\le z\le 2\}[/math]

)

Ora, per prima cosa non ho capito che formula stai utilizzando: quello che vuoi è il baricentro di un corpo solido omogeneo, pertanto, dal momento che esso è simmetrico rispetto alla retta di cui sopra, l'unica coordinata necessaria è

[math]z_B=\frac{1}{M}\int_H z\ dV[/math]

dove

[math]M=\int_H dV[/math]

è la massa del corpo

[math]H[/math]

.
Ti consiglio di passare in coordinate cilindriche (non sferiche) della forma

[math]x=1+\rho\cos t,\qquad y=1+\rho\sin t,\qquad z=z[/math]

in modo da avere le limitazioni seguenti

[math]\rho^2+z^2\le 4,\qquad 1\le z\le 2,\qquad t\in[0,2\pi][/math]

In questo modo il calcolo risulta molto più semplice.