Gradiente

[kika_17]

Ciao a tutti ! Qualcuno potrebbe aiutarmi con questo esercizio, per favore? sono completamente in alto mare
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Sono date le funzioni:

$\ f: RR^3 -> (0,+oo), f in C^1 (RR^3)$

$\ g: RR^2 -> RR, g in C^1(RR^2)$

e sia

$\ G(u,v,w) := g(f^3 (u,v,w) , 1+2logf(u,v,w)) $

Calcolare $ gradG (2,0,-1)$ sapendo che

$\ f(2,0,-1) =1; gradf(2,0,-1)=(1,2,-1); gradg(1,1)=(1,0)$
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$gradG$ è un vettore che ha per componenti tutte le derivate parziali della funzione G, che è una funzione composta

$\ G= g(f(u,v,w)) $

quindi sarebbe così?

$\ gradG= ( (delg)/(delf_1) (1,1) * gradf(2,0,-1) , (delg)/(delf_2) (1,1) * gradf(2,0,-1)) $

dove

$\ f_1 = f^3 (u,v,w)$
$\ f_2 = 1+2logf(u,v,w)$

le derivate sono:

$\ (f_1)' = 3f^2(u,v,w)*gradf$

$\(f_2)' = 2*(gradf(u,v,w))/f(u,v,w)$

non riesco a capire come mettere insieme tutto ciò per calcolare il $\gradG$ .. ??

Se qualcuno può me lo spiega per favore? Grazie mille!

[Dante.utopia]

Sia
$h(u,v,w)=( f^3(u,v,w), 1+2\logf(u,v,w) )$

un campo vettoriale, $h:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$

Allora

\(\displaystyle Jh(2,0,-1)=\begin{pmatrix}
3 & 6 & -3\\
2 & 4 & -2
\end{pmatrix}\)

è la matrice Jacobiana nel punto (2,0,-1).

Essendo $G(u,v,w)=g(h(u,v,w))$ , per la chain rule,

$\nabla G(u,v,w)= \nabla g(h(u,v,w)) Jh(u,v,w)$

poiché

$\nabla g(h(2,0,-1))=\nabla g(1,1) = (1,0)$

si ha
\(\displaystyle \nabla G(2,0,-1)= (1, 0) \cdot \begin{pmatrix}
3 & 6 & -3\\
2 & 4 & -2
\end{pmatrix} = (3,6,-3)\)

Dante.

[kika_17]

Ah ok! ho capito Dante, grazie mille molto gentile