Gli integrali razionali più difficili :(
$int(1/(x^4+x^3+x^2+x+1)dx$ e $int1/(x^7+1)dx$. Questi sono l' unico tipo di integrali razionali che proprio non riesco a fare. Ho notato i risultati su alpha e sono parecchio strani, eppure si possono fare entrambi coi numeri reali e sono funzioni integrabili. Perchè? 
Risposte
"ciampax":
Ragazzi, io non vorrei smontarvi, ma il polinomio di sesto grado che cercate di scomporre.... è irriducibile su $RR$!Infatti, essendo partiti da $x^7+1$, per poter scomporre questo polinomio dovreste trovare le radici settime di $-1$ che, a parte $-1$ stessa, sono tutte complesse. Appena ho tempo vi scrivo la soluzione completa (e vi spiego anche perché il WA fa apparire costanti tipo $\sin(\pi/{14})$).
grazie mille ciampax te ne sarei grato
"Antimius":
OMG, ma che idiota che sono! Non ci posso credere -_- Avevo proprio rimosso che il polinomio di partenza fosse $x^7+1$. Ma allora ogni fattore della scomposizione sarà della forma $((x-\beta_i)^2+\gamma_i^2)$, dove $\beta_i+-i\gamma_i$ sono le radici complesse coniugate, a parte ovviamente $(x+1)$.
Le radici sono $z_k=cos((\pi+2k\pi)/7)+i*sin((\pi+2k\pi)/7)$, per $k=0,...,6$. -_-
(Ora viene ciampax e mi smonta di nuovo LOL)
mi sapresti dire di più su questa sorta di sostituzione coi numeri complessi antimius? cosa dovrei studiare dei numeri complessi per capire come comportarmi in queste situazioni? i complessi non li ho fatti ancora
No Antimius, è esattamente come dici! Per cui va usata una decomposizione della forma seguente
[tex]$\frac{1}{1+x^7}=\frac{A}{x+1}+\sum_{k=1}^3\frac{B_k x+C_k}{(x-\beta_k)^2+\gamma^2_k}$[/tex]
dove in particolare si vede che
[tex]$\beta_k=\cos\frac{(2k-1)\pi}{7},\qquad \gamma_k=\sin\frac{(2k-1)\pi}{7},\qquad k=0,1,2$[/tex]
(ed ecco il perché della presenza di termini costanti tipo quelli che dicevamo!)
[tex]$\frac{1}{1+x^7}=\frac{A}{x+1}+\sum_{k=1}^3\frac{B_k x+C_k}{(x-\beta_k)^2+\gamma^2_k}$[/tex]
dove in particolare si vede che
[tex]$\beta_k=\cos\frac{(2k-1)\pi}{7},\qquad \gamma_k=\sin\frac{(2k-1)\pi}{7},\qquad k=0,1,2$[/tex]
(ed ecco il perché della presenza di termini costanti tipo quelli che dicevamo!)
Yuppee
@emaz92: Non è una sostituzione, ma come ha detto ciampax devi usare la decomposizione e trovarti le costanti.
La quantità dentro la parentesi è spiegata dal seguente fatto:
$(x-(\beta_k+i\gamma_k))(x-(\beta_k-i\gamma_k))=((x-\beta_k)-i\gamma_k)((x-\beta_k)+i\gamma_k)=(x-\beta_k)^2-i^2\gamma_k^2=(x-\beta_k)^2+\gamma_k^2$.
Questo perché un polinomio lo decomponi nella forma $(x-x_1)*(x-x_2)*...*(x-x_n)$ dove le $x_i$ sono le tue radici, ma visto che le complesse non reali sono sempre coniugate (in realtà anche quelle reali, ma il coniugato di un numero reale coincide con il numero stesso), conviene fare quella moltiplicazione e ricondurti a quella forma standard che è integrabile. E così hai tolto anche l'unità immaginaria di torno!
Quelle che ho scritto sotto sono le radici n-esime dell'unità invece. Per saperle calcolare, ovviamente, bisogna aver fatto i complessi.
@emaz92: Non è una sostituzione, ma come ha detto ciampax devi usare la decomposizione e trovarti le costanti.
La quantità dentro la parentesi è spiegata dal seguente fatto:
$(x-(\beta_k+i\gamma_k))(x-(\beta_k-i\gamma_k))=((x-\beta_k)-i\gamma_k)((x-\beta_k)+i\gamma_k)=(x-\beta_k)^2-i^2\gamma_k^2=(x-\beta_k)^2+\gamma_k^2$.
Questo perché un polinomio lo decomponi nella forma $(x-x_1)*(x-x_2)*...*(x-x_n)$ dove le $x_i$ sono le tue radici, ma visto che le complesse non reali sono sempre coniugate (in realtà anche quelle reali, ma il coniugato di un numero reale coincide con il numero stesso), conviene fare quella moltiplicazione e ricondurti a quella forma standard che è integrabile. E così hai tolto anche l'unità immaginaria di torno!
Quelle che ho scritto sotto sono le radici n-esime dell'unità invece. Per saperle calcolare, ovviamente, bisogna aver fatto i complessi.
"Antimius":
Yuppee
@emaz92: Non è una sostituzione, ma come ha detto ciampax devi usare la decomposizione e trovarti le costanti.
La quantità dentro la parentesi è spiegata dal seguente fatto:
$(x-(\beta_k+i\gamma_k))(x-(\beta_k-i\gamma_k))=((x-\beta_k)-i\gamma_k)((x-\beta_k)+i\gamma_k)=(x-\beta_k)^2-i^2\gamma_k^2=(x-\beta_k)^2+\gamma_k^2$.
Questo perché un polinomio lo decomponi nella forma $(x-x_1)*(x-x_2)*...*(x-x_n)$ dove le $x_i$ sono le tue radici, ma visto che le complesse non reali sono sempre coniugate (in realtà anche quelle reali, ma il coniugato di un numero reale coincide con il numero stesso), conviene fare quella moltiplicazione e ricondurti a quella forma standard che è integrabile. E così hai tolto anche l'unità immaginaria di torno!
Quelle che ho scritto sotto sono le radici n-esime dell'unità invece. Per saperle calcolare, ovviamente, bisogna aver fatto i complessi.
ciao antimius, grazie. Volevo chiederti: l' unità immaginaria è integrabile? sto iniziando adesso i complessi, inizio a capirci qualcosa.
Per esempio il seguente integrale: $int1/(x^2+1)dx$, che è ovviamente l' arcotangente potrei pensarlo così: $int1/[(x-i)(x+i)]dx$ e poi integrarlo?
Oddio, non saprei spiegarti bene, perché ancora non ho fatto analisi complessa.
Però, l'integrale di Riemann si basa sulla misura di plurintervalli di $RR^n$ (nel tuo caso $RR$) e su funzioni limitate in tali intervalli (ovviamente continue nel caso tu debba calcolarlo esplicitamente, quindi applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale).
Quindi, sinceramente non saprei come trattare l'unità immaginaria. Sicuramente ci sarà un estensione anche perché $CC$ lo puoi identificare con $RR^2$.
Non so se puoi trattarla come una semplice costante. Però la domanda che mi sorgerebbe è $D(i)=0$?
Aspetta il parere di esperti
Però, l'integrale di Riemann si basa sulla misura di plurintervalli di $RR^n$ (nel tuo caso $RR$) e su funzioni limitate in tali intervalli (ovviamente continue nel caso tu debba calcolarlo esplicitamente, quindi applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale).
Quindi, sinceramente non saprei come trattare l'unità immaginaria. Sicuramente ci sarà un estensione anche perché $CC$ lo puoi identificare con $RR^2$.
Non so se puoi trattarla come una semplice costante. Però la domanda che mi sorgerebbe è $D(i)=0$?
Aspetta il parere di esperti
"Antimius":
Oddio, non saprei spiegarti bene, perché ancora non ho fatto analisi complessa.
Però, l'integrale di Riemann si basa sulla misura di plurintervalli di $RR^n$ (nel tuo caso $RR$) e su funzioni limitate in tali intervalli (ovviamente continue nel caso tu debba calcolarlo esplicitamente, quindi applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale).
Quindi, sinceramente non saprei come trattare l'unità immaginaria. Sicuramente ci sarà un estensione anche perché $CC$ lo puoi identificare con $RR^2$.
Non so se puoi trattarla come una semplice costante. Però la domanda che mi sorgerebbe è $D(i)=0$?
Aspetta il parere di esperti
ok, grazie, però più che altro mi riferivo alla primitiva, in effetti se integro quella funzione trovo una funzione con un logaritmo con delle unità immaginarie se mi ricordo bene, e dopo aver fatto le derivate mi tornava $1/(x^2+1)$ quindi all' apparenza sembrerebbe corretto
"ciampax":
No Antimius, è esattamente come dici! Per cui va usata una decomposizione della forma seguente
[tex]$\frac{1}{1+x^7}=\frac{A}{x+1}+\sum_{k=1}^3\frac{B_k x+C_k}{(x-\beta_k)^2+\gamma^2_k}$[/tex]
dove in particolare si vede che
[tex]$\beta_k=\cos\frac{(2k-1)\pi}{7},\qquad \gamma_k=\sin\frac{(2k-1)\pi}{7},\qquad k=0,1,2$[/tex]
(ed ecco il perché della presenza di termini costanti tipo quelli che dicevamo!)
ciao ciampax, volevo chiederti una cosa: la formula l' ho capita, ma l' unico dubbio che ho è sui valori di $k$. Cioè, le soluzioni alla fine devono essere 7 per forza perchè parliamo di complessi, siccome una è $-1$ le altre le trovo dando a $k$ solo 3 valori perchè è elevato al quadrato il polinomio? è così?
Se ti riferisci alla sommatoria, certamente ha messo fino a $3$ per quello che ti ho spiegato io su. In realtà quella forma al denominatore è la fusione delle due complesse coniugate.
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