Gli insiemi misurabili

[fransis2]

oggi stavo riguardando la costruzione degli insieme lebesgue-misurabili rinotando che è una costruzione molto lunga e laboriosa con molti lemmi tenici. Poi ho riletto una nota nelle dispense di un corso di probabilità del mio professore, nella quale era osservato che la tribù boreliana è contenuta nella tribù dei lebesgue-misurabili, ma che l'inclusione è stretta anche se è difficile fare esempi. Ecco allora io mi sono chiesto quale fosse l'ultilità di definire gli insiemi lebesgue-misurabili quando la sigma-algebra di borel è bella che pronta con un paio di definizioni. Inoltre quando si lavora in probabilità, ad esempio, si usava la maggior parte delle volte la tribù di borel e non mi pare di aver mai visto la tribù dei leibesgue-misurabili. Questa domanda non vuole essere distruttiva ma costruttiva. Nel senso: mi è chiaro che l'integrale di Riemann non è sufficiene e va generalizzato. Ad esempio l'indicatrice dei razionali non è riemann integrabile. Inoltre è importante lavorare con una sigma-algebra altrimenti quando si fanno dimostrazioni teoriche si hanno problemi, come ad esempio quando si passa al limite: se io passo al limite l'indicatrice di alcuni punti potrei ottenere l'indicatrice dei razionali e quindi non si sa bene come si devono interpretare gli integrali. Mentre se lavoriamo con una sigma algebra e con funzioni misurabili rispetto ad essa tutto fila liscio. Però non mi è affatto chiaro perchè introdurre la sigma algebra dei lebesgue misurabili per generalizzare la sigma algebra di borel se si hanno addirittura difficoltà ad esibire insiemi lebesgue-misurabili ma non boreliani. La mia, ribadisco, è realmente una curiosità e non una voglia di critica.

[Paolo902]

"fransis2": Poi ho riletto una nota nelle dispense di un corso di probabilità del mio professore, nella quale era osservato che la tribù boreliana è contenuta nella tribù dei lebesgue-misurabili, ma che l'inclusione è stretta anche se è difficile fare esempi. Ecco allora io mi sono chiesto quale fosse l'ultilità di definire gli insiemi lebesgue-misurabili quando la sigma-algebra di borel è bella che pronta con un paio di definizioni.

Il grosso problema della $sigma$-algebra di Borel è che non è completa, ovvero puoi trovare dei sottoinsiemi di insiemi di misura nulla che non sono misurabili, il che è abbastanza spiacevole.
Costruirli è difficile, se non impossibile. Ma appurare che esistono è un "giochetto" ( ), una volta che hai dimostrato che i boreliani hanno la cardinalità del continuo.

In effetti, l'insieme di Cantor ha misura nulla ed è, anche lui, continuo. Ne segue subito che i suoi sottoinsiemi sono più dei boreliani stessi e quindi, in particolare, ce n'è almeno uno che non è misurabile.

Ho risposto alla tua curiosità?

[fransis2]

oh scusami se ho risposto così tardi. Si! hai risposto appieno alla mia curiosità, anche se adesso un' altra curiosità che mi sorge è quanto sia importante la completezza. Voglio dire: ci sono molti teoremi importanti che usano come ipotesi la completezza (adesso a memoria non mi ricordo le ipotesi precise dei problemi più importanti...)

Grazie ancora.