Gli estremi di un segmento fanno parte del segmento stesso?
Buona sera. Ho un cruccio relativamente alla seguente definizione:
"Un segmento è una parte di retta delimitata da due punti, detti estremi."
La domanda che mi sono posto è: gli estremi fanno parte del segmento in questione? Poichè stiamo parlando di due punti A e B che delimitano una porzione di retta, la risposta non mi è parsa scontata.
Consideriamo ad esempio due segmenti ADIACENTI (ovvero aventi un solo estremo in comune e giacenti sulla stessa retta). Poichè ogni segmento è costituito da punti, parrebbe sbagliato affermare che la lunghezza complessiva dei due segmenti è data dalla somma delle loro lunghezze. Infatti hanno un punto coincidente, quindi la lunghezza complessiva dovrebbe essere la loro semma MENO quel punto. Lo stesso dubbio mi sovviene parlando di aree. Un metro quadro è inteso come la regione di spazio delimitata da un quadrato con lato pari ad un metro, ma il lato fa parte dell'area stessa? Se è così, due metri quadri ADIACENTI avrebbero una porzione infinitesima sovrapposta (il lato in comune), e quindi la loro area complessiva sarebbe data dalla somma delle loro aree MENO il lato in comune. Ovviamente nè il lato nè il punto considerati hanno una dimensione in termini di spessore, quindi il "MENO" che ho citato non è calcolabile in pratica, ma sembra imporsi a livello concettuale.
Mi aiutate a sbrogliare le idee?
"Un segmento è una parte di retta delimitata da due punti, detti estremi."
La domanda che mi sono posto è: gli estremi fanno parte del segmento in questione? Poichè stiamo parlando di due punti A e B che delimitano una porzione di retta, la risposta non mi è parsa scontata.
Consideriamo ad esempio due segmenti ADIACENTI (ovvero aventi un solo estremo in comune e giacenti sulla stessa retta). Poichè ogni segmento è costituito da punti, parrebbe sbagliato affermare che la lunghezza complessiva dei due segmenti è data dalla somma delle loro lunghezze. Infatti hanno un punto coincidente, quindi la lunghezza complessiva dovrebbe essere la loro semma MENO quel punto. Lo stesso dubbio mi sovviene parlando di aree. Un metro quadro è inteso come la regione di spazio delimitata da un quadrato con lato pari ad un metro, ma il lato fa parte dell'area stessa? Se è così, due metri quadri ADIACENTI avrebbero una porzione infinitesima sovrapposta (il lato in comune), e quindi la loro area complessiva sarebbe data dalla somma delle loro aree MENO il lato in comune. Ovviamente nè il lato nè il punto considerati hanno una dimensione in termini di spessore, quindi il "MENO" che ho citato non è calcolabile in pratica, ma sembra imporsi a livello concettuale.
Mi aiutate a sbrogliare le idee?
Risposte
Certo che ti fai certi problemi...
"Vulplasir":
Certo che ti fai certi problemi...
Non è lecito?
Comunque il problema rientra nella teoria della misura in analisi matematica
"Vulplasir":
Comunque il problema rientra nella teoria della misura in analisi matematica
Non mi pongo un simile problema nel momento in cui prendo in mano un metro e compio delle misure fisiche. L'errore è intrinsecamente presente. Ho parlato di segmenti perché stavo mettendo in dubbio la chiarezza della definizione nel contesto della geometria euclidea, o più semplicemente nell'ambito di un piano cartesiano dove si disegnino 2 segmenti adiacenti e si affermi che la loro lunghezza complessiva è data dalla somma delle loro individuali lunghezze. In matematica il "che ti frega…" non è contemplato, lo è soltanto in base alle applicazioni della stessa.
La faccenda è più complicata di così, ma penso ti basti pensare che la lunghezza di un punto è nulla, così come l'area di un segmento.
"seb":
La faccenda è più complicata di così, ma penso ti basti pensare che la lunghezza di un punto è nulla, così come l'area di un segmento.
Se hai voglia di arricchirmi con considerazioni anche più "profonde" sarò lieto di leggerle
La "misura" in "teoria della misura" non ha niente a che fare con il prendere il metro e misurare
Euclide diceva che il punto è quella cosa che non ha dimensioni quindi quando ti poni il problema della
Cordialmente, Alex
"tmox":di due segmenti adiacenti, in pratica non c'è nessuna differenza se il punto estremo appartiene a tutti e due i segmenti oppure no ...
lunghezza complessiva
Cordialmente, Alex
In pratica, come dice seb, si arriva a dire che la " misura di lunghezza" di un punto è nulla, così come la misura di superficie di una curva è nulla, così come la misura di volume di una superficie è nulla, definendo cosa si intende per ognuna di queste "misure" (hanno scoperto l'acqua calda i matematici)
"Vulplasir":
si arriva a dire che la " misura di lunghezza" di un punto è nulla
Quale serie di ragionamenti porta a dire questo? Io le proprietà del punto l'ho sempre intese come definizioni relative all'elemento costituente lo spazio. Non si può tuttavia negare l'ossimoro di fondo che vi è nel considerare il punto un elemento costituente ma allo stesso tempo attribuire ad esso dimensioni nulle (ovvero nessun contributo costituente).
O ti studi "teoria della misura" o lo prendi come assioma (come Euclide) o lo "vedi" come una "posizione" e non come "oggetto" ...
Quale serie di ragionamenti porta a dire questo?
Per esempio in $RR$ dici che un insieme $E$ in $RR$ ha misura nulla (ossia ha "lunghezza nulla") se per ogni $epsilon>0$
1) $E$ è contenuto in una unione di intervalli aperti $(a_k,, b_k)$ al più numerabile
2) Per qualsiasi $n$ risulta $sum^n(b_k-a_k)
In pratica queste due condizioni ti dicono che il tuo insieme ha lunghezza nulla se un intervallo aperto che lo contiene può essere "ristretto" a piacimento.
nel caso di un solo punto quindi la cosa è immediata, un punto $c in RR$ è contenuto in un intervallo $(a,b)$ con b>c e c>a, dalle proprietà dei punti di $RR$ $b$ e $a$ possono essere scelti indefinitament vicini a $c$, quindi un punto c in $RR$ non ha lunghezza, ma anche 2 punti non hanno lunghezza, n punti non hanno lunghezza e in generale una infinità numerabile di punti non ha lunghezza. Detta in parole molto semplici da ricordi di analisi 1.
vorrei aggiungere qualcosa, premetto che non ho fatto ancora teoria della misura.
Su cosa possa esser punto se n'è discusso tanto e penso che se ne discuterà per sempre.
Tu puoi pure prendere $RR^2$ dividerlo nei quattro quadranti e dire 'per me ogni quadrante sarà un punto' e nessuno potrebbe dirti nulla, al più instauri una polemica.
Ogni teoria butta giù degli assiomi che servono per dare senso a quello che si vuole dimostrare e non esiste(penso) un assioma generale che definisca cosa sia un punto per l'intera comunità matematica, fisica e filosofica.
Anche negli spazi metrici un elemento dell'insieme viene definito 'punto' e quindi lo spazio delle funzioni continue da un intervallo $[a,b]$ a valori reali ha per punti delle funzioni. Quindi potremmo definire la misura del punto come
potrebbe arrivare tizio e dirmi 'ah ma non c'entra nulla con i postulati di Euclide', poi arriva anche caio a dirmi 'eh ma nemmeno con la teoria della misura' e avrebbero ragione, ma infatti non deve entrarci nulla, è una cosa che stai definendo tu.
Il puntino che disegni sul foglio, o qualsiasi altra figura, è una rappresentazione di ciò che matematicamente cerchiamo di descrivere.
Questo per dirti che ognuno può definire quello che vuole e come vuole e poi che possa aver senso ed essere più o meno utile, è un altro discorso.
Su cosa possa esser punto se n'è discusso tanto e penso che se ne discuterà per sempre.
Tu puoi pure prendere $RR^2$ dividerlo nei quattro quadranti e dire 'per me ogni quadrante sarà un punto' e nessuno potrebbe dirti nulla, al più instauri una polemica.
Ogni teoria butta giù degli assiomi che servono per dare senso a quello che si vuole dimostrare e non esiste(penso) un assioma generale che definisca cosa sia un punto per l'intera comunità matematica, fisica e filosofica.
Anche negli spazi metrici un elemento dell'insieme viene definito 'punto' e quindi lo spazio delle funzioni continue da un intervallo $[a,b]$ a valori reali ha per punti delle funzioni. Quindi potremmo definire la misura del punto come
$mu(f)=int_(a)^(b)|f(x)|dx$
potrebbe arrivare tizio e dirmi 'ah ma non c'entra nulla con i postulati di Euclide', poi arriva anche caio a dirmi 'eh ma nemmeno con la teoria della misura' e avrebbero ragione, ma infatti non deve entrarci nulla, è una cosa che stai definendo tu.
Il puntino che disegni sul foglio, o qualsiasi altra figura, è una rappresentazione di ciò che matematicamente cerchiamo di descrivere.
Questo per dirti che ognuno può definire quello che vuole e come vuole e poi che possa aver senso ed essere più o meno utile, è un altro discorso.
Ciao tmox
mi scuso perchè non ho letto i post precedenti più lunghi di 5 righe
e probabilmente ti hanno già risposto (meglio di quanto potrei fare io) però mi ha colpito una tua espressione
Se confronto 2 oggetti e uno è infinitamente più piccolo dell'altro, allora trascuralo è lecito, isn't it?
lo trascuro=che mi frega?
mi scuso perchè non ho letto i post precedenti più lunghi di 5 righe
e probabilmente ti hanno già risposto (meglio di quanto potrei fare io) però mi ha colpito una tua espressione
"tmox":
... o più semplicemente nell'ambito di un piano cartesiano dove si disegnino 2 segmenti adiacenti e si affermi che la loro lunghezza complessiva è data dalla somma delle loro individuali lunghezze. In matematica il "che ti frega…" non è contemplato, lo è soltanto in base alle applicazioni della stessa.
Se confronto 2 oggetti e uno è infinitamente più piccolo dell'altro, allora trascuralo è lecito, isn't it?
lo trascuro=che mi frega?
"gio73":
Ciao tmox
mi scuso perchè non ho letto i post precedenti più lunghi di 5 righe
e probabilmente ti hanno già risposto (meglio di quanto potrei fare io) però mi ha colpito una tua espressione
[quote="tmox"]... o più semplicemente nell'ambito di un piano cartesiano dove si disegnino 2 segmenti adiacenti e si affermi che la loro lunghezza complessiva è data dalla somma delle loro individuali lunghezze. In matematica il "che ti frega…" non è contemplato, lo è soltanto in base alle applicazioni della stessa.
Se confronto 2 oggetti e uno è infinitamente più piccolo dell'altro, allora trascuralo è lecito, isn't it?
lo trascuro=che mi frega?[/quote]
Senz' altro, ma non è la matematica a suggerirlo, quanto più il contesto in cui la applichi. Se confronti un millimetro con un metro, in genere il primo risulta trascurabile rispetto il secondo... ma dipende di cosa stiamo parlando. Se sto misurando un mobile, allora va bene. Se uno scarto di un millimetro provoca la detonazione di una bomba nucleare (la sparo grossa per dire) allora il millimetro conta eccome.
Ma non mi è chiara la domanda, cioè dipende cosa è un segmento per te.
Se la definizione di segmento è quella iniziale non è chiara perché non significa nulla "delimitato da". Mettiamoci sulla retta reale. Puoi definire segmento di estremi $a
\[ s_{a,b} = \{ x \in \mathbb{R} : a \le x \le b \} \]
oppure l'insieme
\[ r_{a,b} = \{ x \in \mathbb{R} : a < x < b \} \]
e hai la riposta alla tua domanda in base alla definizione che scegli.
Non sono un esperto di geometria euclidea ma penso che in quel contesto la "definizione" sia intuitiva e non necessiti di questa precisazione. Se vuoi definire un segmento con tutti i crismi devi metterti almeno in uno spazio vettoriale.
Poi ci sono le (anche interessanti) disquisizioni di teoria della misura sul perché (o meno) un punto misuri $0$ eccetera, ma è un'altra questione.
La questione delle misure nella realtà invece è ancora un'altra e non ha niente (ma proprio niente) a vedere con la matematica.
Se la definizione di segmento è quella iniziale non è chiara perché non significa nulla "delimitato da". Mettiamoci sulla retta reale. Puoi definire segmento di estremi $a
\[ s_{a,b} = \{ x \in \mathbb{R} : a \le x \le b \} \]
oppure l'insieme
\[ r_{a,b} = \{ x \in \mathbb{R} : a < x < b \} \]
e hai la riposta alla tua domanda in base alla definizione che scegli.
Non sono un esperto di geometria euclidea ma penso che in quel contesto la "definizione" sia intuitiva e non necessiti di questa precisazione. Se vuoi definire un segmento con tutti i crismi devi metterti almeno in uno spazio vettoriale.
Poi ci sono le (anche interessanti) disquisizioni di teoria della misura sul perché (o meno) un punto misuri $0$ eccetera, ma è un'altra questione.
La questione delle misure nella realtà invece è ancora un'altra e non ha niente (ma proprio niente) a vedere con la matematica.
"Bremen000":
La questione delle misure nella realtà invece è ancora un'altra e non ha niente (ma proprio niente) a vedere con la matematica.
Beh, adesso non esageriamo
... non foss'altro perché le rappresenti con dei numeri e ci fai sopra dei conti ... 
Vabbè ma allora in questo senso anche la cucina ha a che fare con la matematica 
Voglio dire che il problema di cosa trascurare o meno in una misurazione (di una lunghezza, nello specifico) ha ben poco di matematico secondo me, ci possono essere considerazioni fisiche o interpretazioni ecc...
Ma di matematica (vera) non ce ne è secondo me.
Il mio intento era solo cercare di inquadrare la domanda in un contesto più matematico appunto
Voglio dire che il problema di cosa trascurare o meno in una misurazione (di una lunghezza, nello specifico) ha ben poco di matematico secondo me, ci possono essere considerazioni fisiche o interpretazioni ecc...
Ma di matematica (vera) non ce ne è secondo me.
Il mio intento era solo cercare di inquadrare la domanda in un contesto più matematico appunto
Maddai, ma che c'entra la cucina ... 
Misurare è essenzialmente Matematica, è sicuramente una delle primissime applicazione della Matematica (probabilmente la seconda dopo il contare le pecore )
Misurare vuol dire confrontare un oggetto con un altro e appiccicargli un numero ovvero quante volte è più grande (o più piccolo) l'uno dell'altro ...
Cordialmente, Alex
Misurare è essenzialmente Matematica, è sicuramente una delle primissime applicazione della Matematica (probabilmente la seconda dopo il contare le pecore
)Misurare vuol dire confrontare un oggetto con un altro e appiccicargli un numero ovvero quante volte è più grande (o più piccolo) l'uno dell'altro ...
Cordialmente, Alex
Ad ogni modo, poichè in molti avete citato la Teoria della Misura, devo fare presente che probabilmente non studierò mai questa materia (mio malgrado). Se questa però è così esplicativa verso la mia domanda, che io stesso reputo "elementare" ma fondamentale, mi chiedo allora come si voglia parlare di segmenti in maniera puramente "Euclidea" già alle scuole medie e superiori ( o perfino alle elementari? Non ricordo ). Si pretende di far passare per semplici dei concetti che definire "semplici" sarebbe quanto meno riduttivo.
). Si pretende di far passare per semplici dei concetti che definire "semplici" sarebbe quanto meno riduttivo.
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