Gli estremi di un segmento fanno parte del segmento stesso?
Buona sera. Ho un cruccio relativamente alla seguente definizione:
"Un segmento è una parte di retta delimitata da due punti, detti estremi."
La domanda che mi sono posto è: gli estremi fanno parte del segmento in questione? Poichè stiamo parlando di due punti A e B che delimitano una porzione di retta, la risposta non mi è parsa scontata.
Consideriamo ad esempio due segmenti ADIACENTI (ovvero aventi un solo estremo in comune e giacenti sulla stessa retta). Poichè ogni segmento è costituito da punti, parrebbe sbagliato affermare che la lunghezza complessiva dei due segmenti è data dalla somma delle loro lunghezze. Infatti hanno un punto coincidente, quindi la lunghezza complessiva dovrebbe essere la loro semma MENO quel punto. Lo stesso dubbio mi sovviene parlando di aree. Un metro quadro è inteso come la regione di spazio delimitata da un quadrato con lato pari ad un metro, ma il lato fa parte dell'area stessa? Se è così, due metri quadri ADIACENTI avrebbero una porzione infinitesima sovrapposta (il lato in comune), e quindi la loro area complessiva sarebbe data dalla somma delle loro aree MENO il lato in comune. Ovviamente nè il lato nè il punto considerati hanno una dimensione in termini di spessore, quindi il "MENO" che ho citato non è calcolabile in pratica, ma sembra imporsi a livello concettuale.
Mi aiutate a sbrogliare le idee?
"Un segmento è una parte di retta delimitata da due punti, detti estremi."
La domanda che mi sono posto è: gli estremi fanno parte del segmento in questione? Poichè stiamo parlando di due punti A e B che delimitano una porzione di retta, la risposta non mi è parsa scontata.
Consideriamo ad esempio due segmenti ADIACENTI (ovvero aventi un solo estremo in comune e giacenti sulla stessa retta). Poichè ogni segmento è costituito da punti, parrebbe sbagliato affermare che la lunghezza complessiva dei due segmenti è data dalla somma delle loro lunghezze. Infatti hanno un punto coincidente, quindi la lunghezza complessiva dovrebbe essere la loro semma MENO quel punto. Lo stesso dubbio mi sovviene parlando di aree. Un metro quadro è inteso come la regione di spazio delimitata da un quadrato con lato pari ad un metro, ma il lato fa parte dell'area stessa? Se è così, due metri quadri ADIACENTI avrebbero una porzione infinitesima sovrapposta (il lato in comune), e quindi la loro area complessiva sarebbe data dalla somma delle loro aree MENO il lato in comune. Ovviamente nè il lato nè il punto considerati hanno una dimensione in termini di spessore, quindi il "MENO" che ho citato non è calcolabile in pratica, ma sembra imporsi a livello concettuale.
Mi aiutate a sbrogliare le idee?
Risposte
Sono d'accordo con te che uno dei primi motivi per cui si è scoperta (inventata?) la matematica sia stata l'esigenza di misurare lunghezze, aree e volumi.
Quello che voglio esprimere è che per come è posta la domanda dell'op questa non è una fine questione di teoria della misura (ci sono misure per cui i punti contano eccome per dire) ma è solo una questione di definizioni.
Non penso che c'entri qualcosa il misurare reale, nel quale intervengono imprecisioni, errori e quant'altro.
Mi sembra che siano proprio due cose distinte. Cioè l'atto di misurare un oggetto nella realtà e appiccicargli un numero è un fatto fisico, non matematico. Poi si astrae quel numero e lo si piazza nei numeri reali ma qua siamo già in un altro campo rispetto al "prendere un righello e misurare la lunghezza di un mobile".
Quello che voglio esprimere è che per come è posta la domanda dell'op questa non è una fine questione di teoria della misura (ci sono misure per cui i punti contano eccome per dire) ma è solo una questione di definizioni.
Non penso che c'entri qualcosa il misurare reale, nel quale intervengono imprecisioni, errori e quant'altro.
Mi sembra che siano proprio due cose distinte. Cioè l'atto di misurare un oggetto nella realtà e appiccicargli un numero è un fatto fisico, non matematico. Poi si astrae quel numero e lo si piazza nei numeri reali ma qua siamo già in un altro campo rispetto al "prendere un righello e misurare la lunghezza di un mobile".
@tmox, secondo me la teoria della misura non c'entra una mazza con la tua domanda. La tua domanda è fondamentalmente "cosa è un segmento". Non "un punto ha lunghezza?".
Immagino che in matematica si faccia spesso così, forse che alle elementari qualcuno sa cosa è un numero reale? Direi di no!
Immagino che in matematica si faccia spesso così, forse che alle elementari qualcuno sa cosa è un numero reale? Direi di no!
"Bremen000":
@tmox, secondo me la teoria della misura non c'entra una mazza con la tua domanda. La tua domanda è fondamentalmente "cosa è un segmento". Non "un punto ha lunghezza?".
Immagino che in matematica si faccia spesso così, forse che alle elementari qualcuno sa cosa è un numero reale? Direi di no!
Convengo. Non avendo conoscenze in Teoria della Misura, la mia domanda mirava a comprendere il modo migliore per concepire "il punto", partendo dal presupposto che esso è parte di un segmento ma allo stesso tempo non ha lunghezza alcuna (definizioni e contraddizioni sembravano piacere ad Euclide). Il riflettere sui segmenti adiacenti ha fatto cozzare la mia mente con la definizione di punto come elemento costituente un segmento. Se due tronchi di un metro vengono disposti in linea e le loro basi vengono leggermente sovrapposte, la lunghezza complessiva non sarà parì alla somma delle loro lunghezze, perchè la parte iniziale del secondo tronco non contribuisce in quanto "sprecata" essendo sovrapposta alla parte finale del primo tronco. Con il punto il problema si risolve affermando che non ha dimensioni... e da qui la domanda: il punto estremo fa allora parte del segmento stesso oppure no? Siamo ancora sul tronco, subito dopo di esso, oppure in un limbo nel mezzo? Non ho trovato una definizione in merito...
@Bremen000
Continuo a non essere d'accordo con te, mi pare che la fai troppo semplice
Il fatto fisico di misurare qualcosa (o forse meglio di "voler misurare") e la Matematica sono più "connessi" di quello che può sembrare, basti pensare a come si possa misurare l'altezza di un campanile partendo dalla sua ombra o a Eratostene che misurò la Terra sempre per vie matematiche ... sempre IMHO ovviamente
Cordialmente, Alex
Continuo a non essere d'accordo con te, mi pare che la fai troppo semplice
Il fatto fisico di misurare qualcosa (o forse meglio di "voler misurare") e la Matematica sono più "connessi" di quello che può sembrare, basti pensare a come si possa misurare l'altezza di un campanile partendo dalla sua ombra o a Eratostene che misurò la Terra sempre per vie matematiche ... sempre IMHO ovviamente
Cordialmente, Alex
"tmox":
... e da qui la domanda: il punto estremo fa allora parte del segmento stesso oppure no? Siamo ancora sul tronco, subito dopo di esso, oppure in un limbo nel mezzo? Non ho trovato una definizione in merito...
Ma non è vero, Bremen000 ti ha già dato la risposta ... puoi essere d'accordo o meno ma dovresti rifletterci non "schivarla"
non entro nel merito della domanda, aggiungo solo che se consideri per esempio la funzione f(x) = 0 se x = 0 , f(x) = sen(1/x) altrimenti, si ha che il punto 0 è vicino quanto si vuole alla funzione sen(1/x) ma non abbastanza da poter avere un arco che lo connetta alla funzione. cose strane
"tmox":
Buona sera. Ho un cruccio relativamente alla seguente definizione:
"Un segmento è una parte di retta delimitata da due punti, detti estremi."
La domanda che mi sono posto è: gli estremi fanno parte del segmento in questione? Poichè stiamo parlando di due punti A e B che delimitano una porzione di retta, la risposta non mi è parsa scontata.
Certo che se uno usa definizioni sbagliate o approssimative, tutto sembra più difficile di quel che è...
La definizione di segmento si basa, fondamentalmente, su un assioma ed una definizione, cioè:
Ogni retta $r$ si può orientare solo in due modi diversi; in altre parole, esistono solo due relazioni d'ordine \(\preceq_1\) e \(\preceq_2\) definite tra i punti di $r$ tali che per ogni $A,B in r$:
[*:x022qi7d] se $A!= B in r$, allora \(A\preceq_1 B\) o \(B\preceq_1 A\) e \(A\preceq_2 B\) o \(B\preceq_2 A\) (ciò significa che \(\preceq_1\) e \(\preceq_2\) sono relazioni d'ordine totali)
[/*:m:x022qi7d]
[*:x022qi7d] \(A\preceq_1 B\) se e solo se \(B\preceq_2 A\) (ciò significa che le due relazioni \(\preceq_1 \) e \(\preceq_2\) sono relazioni d'ordine opposte).[/*:m:x022qi7d][/list:u:x022qi7d]
Ogni retta $r$ sulla quale sia stato fissato uno dei due orientamenti \(\preceq_1\) o \(\preceq_2\) si chiama retta orientata.
Scelti $A,B in r$, se \(A\preceq_1 B\) [risp. \(A\preceq_2 B\)] (non escludendo il caso di uguaglianza tra i due punti) si dice che $B$ non precede $A$ oppure che $A$ non segue $B$ nell'orientamento \(\preceq_1\) [risp. \(\preceq_2\)].
Scelti, invece, $A!= B in r$, se \(A\preceq_1 B\) [risp. \(A\preceq_2 B\)] si dice che \(B\) segue \(A\) oppure che \(A\) precede \(B\) nell'orientamento scelto \(\preceq_1 \) [risp. \(\preceq_2\)] e si usa anche il simbolo \(A\prec_1 B\) [risp. \(A\prec_2 B\)] (in cui manca il trattino in basso) per sottolineare che i due punti non possono coincidere.
La definizione di segmento è la seguente:
Siano $r$ una retta orientata e $A,B in r$ due punti tali che $A$ non segua $B$ rispetto all'orientamento scelto su $r$.
Si chiama segmento di estremi $A$ e $B$ l'insieme \(\overline{AB}\) dei punti $P$ sulla retta orientata $r$ che non precedono $A$ e non seguono $B$ nell'orientamento scelto.
In simboli, fissati un orientamento \(\preceq\) su $r$ (tra i due disponibili) e due punti \(A\preceq B \in r\), si ha:
\[
\overline{AB} := \Big\{ P \in r:\ A\preceq P\preceq B \Big\}\; .
\]
Dunque, per come sono definiti i due orientamenti di $r$, gli estremi di un segmento appartengono al segmento.
Tutto il resto è un mix di nozioni inutili all'inizio, anche se poi portano a sviluppi interessanti.
Tanto per fare un esempio (non menzionato da altri): dato che i punti della retta orientata costituiscono un modello dell'insieme dei numeri reali ordinati, i segmenti si possono usare per rappresentare intervalli limitati dei reali.
Gli intervalli vengono distinti in quattro specie:
- [*:x022qi7d] intervalli chiusi \([a,b] := \{ x\in \mathbb{R} : a\leq x\leq b\}\),
[/*:m:x022qi7d]
[*:x022qi7d] intervalli aperti \(]a,b[ := \{ x\in \mathbb{R} : a< x< b\}\),
[/*:m:x022qi7d]
[*:x022qi7d] intervalli semiaperti superiormente (e chiusi inferiormente) \([a,b[ := \{ x\in \mathbb{R} : a\leq x< b\}\),
[/*:m:x022qi7d]
[*:x022qi7d] intervalli semiaperti inferiormente (e chiusi superiormente) \(]a,b] := \{ x\in \mathbb{R} : a< x\leq b\}\),[/*:m:x022qi7d][/list:u:x022qi7d]
i quali si distinguono tra loro per il fatto che gli estremi $a$ e $b$ appartengono (entrambi o meno) all'intervallo.
Conseguentemente, può essere interessante distinguere (mediante una definizione apposita) anche tra segmenti quelli chiusi, aperti o semiaperti.
I segmenti definiti sopra sono segmenti chiusi, poiché contengono entrambi i loro estremi; d'altra parte, un segmento aperto è un insieme del tipo:
\[
\Big\{ P\in r:\ A\prec P\prec B \Big\}
\]
ed i segmenti semiaperti si ottengono considerando le disuguaglianze con l'uguale:
\[
\begin{split}
\Big\{ P\in r:\ A\preceq P\prec B \Big\} \qquad \text{e}\qquad \Big\{ P\in r:\ A\prec P\preceq B \Big\}\; .
\end{split}
\]
Queste tipologie di segmenti hanno proprietà differenti, ma tali proprietà non sono così importanti da giustificare una definizione a livello di Geometria Elementare.
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