Giustificazione dell'integrabilità

[mattsca1]

Salve a tutti. In un testo d'esame ho trovato questa funzione $f(x) = x / (1+2x^2)$. Ora si chiede di giustificare prima l'integrabilità di f(x) in 0 e un generico x>0 e poi di discutere la convergenza dell'integrale improprio $ int_(0)^(oo ) f(x) $ . Allora per primo ho calcolato l'integrale che viene $1/4log(1+2x^2)$ e, per giustificare l'integrabilità, ho "construito" la relativa serie di potenze, che dovrebbe essere questa $ sum ((-1)^(k+1)(2x^2)^(k))/(4k) $ (portando dentro la frazione). Ora per il teorema della radice questa serie converge se x € ( $ -sqrt(2)/2;+sqrt(2)/2 $ , quindi l'integrale convergerà solo fino a $ sqrt(2)/2 $. Ma se studio l'integrabilità di $ int_(0)^(oo ) f(x) $ vedo che tra 0 e 1 la funzione si integra mentre tra 1 e infinito no. Il punto che non capisco è che non ci dovrebbe essere una relazione tra i due studi dell'integrale; meglio, anche nel primo esercizio avrei dovuto trovare l'integrabilità tra 0 e 1 giusto??

[mattsca1]

Lo so che non è nè il vostro lavoro nè il vostro dovere e lo fate per gentilezza ma non è che qualcuno mi possa aiutare per il solo fatto che ho l'esame domani e vorrei dipanare tutti i miei dubbi. Grazie

[Rigel1]

L'integrabilità sugli intervalli del tipo $[0,x]$, $x>0$, si giustifica per il fatto che $f$ è una funzione continua; di norma si assume noto che una funzione continua su un intervallo compatto (chiuso e limitato) sia integrabile.
Riguardo la convergenza dell'integrale improprio, dal momento che hai calcolato gli integrali su $[0,x]$ ti basta studiare il limite
$\lim_{x\to +\infty} \int_0^x f(t) dt = \lim_{x\to +\infty} \frac{1}{4}\log(1+2x^2)$.
Dal momento che tale limite vale $+\infty$, la tua funzione non è integrabile in senso improprio su $[0,+\infty)$.

[mattsca1]

Grazie mille per la risposta. Ora è tutto più chiaro, grazie mille ancora