Giudizio su questi esercizi? Limiti
Ciao a tutti, scrivo il topic perché avrei bisogno di un aiuto, di un feedback e sarei molto felice se qualcuno mi desse un parere su come sto lavorando nel calcolo dei limiti.
Il primo che posto è il seguente:
$lim_(x->0)(e^(x^2)-1)/log(1+2(x^2)$ , che per confronto asintotico riduco a $lim_(x->0)(x^2)/(2x^2)=1/2$
Ho provato a calcolare il limite per intero, ma ho avuto grossi problemi:
Ho provato a far tendere y a zero e a sostituire il numeratore con $y=(e^(x^2)-1)$, quindi coerentemente a sostituire la x al denominatore con $x^2=ln(y+1)$, ottenendo alla fine $lim_(x->0)(y+1-1)/log(1+2ln(y+1))$
Commetto degli errori o mi blocco per mancanza di esperienza?
Mi sembra di essere andato un pò meglio invece in questo esercizio dove ho cercato di rincondurre la frazione al limite notevole senx/x=1. Ho avuto qualche difficoltà a farne la stima asintotica:
$lim_(x->0)(x(sin2x)^2)/sin(x^3)=lim_(x->0)(x*x^2*sin2x^2)/(x^2*sin(x^3))=2lim_(x->0)(x^3/sin(x^3))=2$
Grazie per la lettura
Il primo che posto è il seguente:
$lim_(x->0)(e^(x^2)-1)/log(1+2(x^2)$ , che per confronto asintotico riduco a $lim_(x->0)(x^2)/(2x^2)=1/2$
Ho provato a calcolare il limite per intero, ma ho avuto grossi problemi:
Ho provato a far tendere y a zero e a sostituire il numeratore con $y=(e^(x^2)-1)$, quindi coerentemente a sostituire la x al denominatore con $x^2=ln(y+1)$, ottenendo alla fine $lim_(x->0)(y+1-1)/log(1+2ln(y+1))$
Commetto degli errori o mi blocco per mancanza di esperienza?
Mi sembra di essere andato un pò meglio invece in questo esercizio dove ho cercato di rincondurre la frazione al limite notevole senx/x=1. Ho avuto qualche difficoltà a farne la stima asintotica:
$lim_(x->0)(x(sin2x)^2)/sin(x^3)=lim_(x->0)(x*x^2*sin2x^2)/(x^2*sin(x^3))=2lim_(x->0)(x^3/sin(x^3))=2$
Grazie per la lettura
Risposte
Ciao Cipro,
Benvenuto sul forum!
Per il primo limite la questione è piuttosto semplice, si tratta di fare uso di due limiti notevoli:
$\lim_{x \to 0}(e^(x^2)-1)/log(1+2(x^2)) = \lim_{x \to 0}(e^(x^2)-1)/x^2 \cdot 1/((log(1+2(x^2)))/(2x^2)) \cdot 1/2 = 1 \cdot 1/1 \cdot 1/2 = 1/2 $
Il secondo invece è proprio errato, infatti si ha:
$ \lim_{x \to 0}(x(sin2x)^2)/sin(x^3) = \lim_{x \to 0} ( sin^2 (2x))/(2x)^2 \cdot x^3/sin(x^3) \cdot 4 = 1 \cdot 1 \cdot 4 = 4 $
Benvenuto sul forum!
Per il primo limite la questione è piuttosto semplice, si tratta di fare uso di due limiti notevoli:
$\lim_{x \to 0}(e^(x^2)-1)/log(1+2(x^2)) = \lim_{x \to 0}(e^(x^2)-1)/x^2 \cdot 1/((log(1+2(x^2)))/(2x^2)) \cdot 1/2 = 1 \cdot 1/1 \cdot 1/2 = 1/2 $
Il secondo invece è proprio errato, infatti si ha:
$ \lim_{x \to 0}(x(sin2x)^2)/sin(x^3) = \lim_{x \to 0} ( sin^2 (2x))/(2x)^2 \cdot x^3/sin(x^3) \cdot 4 = 1 \cdot 1 \cdot 4 = 4 $
"pilloeffe":
Ciao Cipro,
Benvenuto sul forum!
Per il primo limite la questione è piuttosto semplice, si tratta di fare uso di due limiti notevoli:
$\lim_{x \to 0}(e^(x^2)-1)/log(1+2(x^2)) = \lim_{x \to 0}(e^(x^2)-1)/x^2 \cdot 1/((log(1+2(x^2)))/(2x^2)) \cdot 1/2 = 1 \cdot 1/1 \cdot 1/2 = 1/2 $
Il secondo invece è proprio errato, infatti si ha:
$ \lim_{x \to 0}(x(sin2x)^2)/sin(x^3) = \lim_{x \to 0} ( sin^2 (2x))/(2x)^2 \cdot x^3/sin(x^3) \cdot 4 = 1 \cdot 1 \cdot 4 = 4 $
Ti ringrazio, più le sto rileggendo e più inizio a capire meglio la logica. Mi hai chiarito molti dubbi pratici.
Una curiosità sul secondo. Credo di aver capito l'operazione svolta per ricondurre le due frazioni ai limiti notevoli, ma non fino in fondo: il 4 deriva dal fatto che hai moltiplicato e diviso per $\(2x)^2 $ e poi lo hai scritto come prodotto per esplicitare i limiti notevoli, giusto?
Giusto.
Per verificare che tu abbia svolto tutto correttamente, tornando a semplificare ovviamente dovrai riottenere il limite originario.
Per verificare che tu abbia svolto tutto correttamente, tornando a semplificare ovviamente dovrai riottenere il limite originario.
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