Gerarchie di infinito

[davikokar]

Leggevo su un testo matematico che tratta di limiti, in particolare delle tecniche di risoluzione delle forme indeterminate del tipo infinito su infinito. La tecnica su cui ho una domanda è quella che riguarda il confronto tra infiniti. Nel testo vengono descritti i diversi ordini di infinito come diversi modi in cui una funzione può divergere: in breve una funzione può divergere molto più velocemente di un`altra funzione. Per esempio x^2 diverge più rapidamente di x. Il tutto è piuttosto intuitivo: basta pensare ai grafici per rendersene conto. Il testo poi procede descrivendo una gerarchia degli infiniti, ed è qui che ho un problema. La gerarchia proposta dal testo è questa:

log(x) << x^a << x^b << c^x << d^x << x^x
con 0 < b < c, 1 < d < g

Se ho capito bene, secondo questa gerarchia x^100 è un infinito di ordine inferiore rispetto a 2^x, però se guardo il grafico x^100 diverge più rapidamente di 2^x. Qualcuno mi può spiegare l`incongruenza? Grazie

[axpgn]

"davikokar":… però se guardo il grafico x^100 diverge più rapidamente di 2^x. …

No, ti sembra che sia così ma non lo è …
Purtroppo un grafico (generato con qualsiasi sw, anche il più potente) non potrà, in generale, darti una visione completa e precisa della tua funzione (e meno che mai all'infinito ... )

Prendi $x=1024=2^10$ e ponili nelle tue funzioni: da $2^x$ ottieni $2^1024$ mentre da $x^100$ ottieni $1024^100=(2^10)^100=2^1000$; qual è la maggiore?

Cordialmente, Alex

[davikokar]

Ah ecco, grazie. Avevo anche cercato di risolvere l`equazione 2^x = x^100, per verificare dove eventualmente la funzione 2^x "raggiunge e supera" la x^100. Ma non ci sono riuscito. Qualche suggerimento al riguardo? Grazie ancora.

[gugo82]

"davikokar":Qualche suggerimento al riguardo?

Sì.
Studiati la dimostrazione di:
\[
\forall \alpha >0,\ \forall a > 1,\quad \lim_{x\to +\infty} \frac{x^\alpha}{a^x} = 0\; .
\]

Una dimostrazione è la “bolla d’accompagnamento” che certifica la verità di una proposizione. I grafici non hanno lo stesso compito.

[axpgn]

Non è un equazione che puoi risolvere analiticamente, graficamente evidentemente no quindi puoi usare metodi numerici (bisezione, newton, ecc.) …

Puoi comunque osservare che $2^x>x^100\ ->\ log_2 2^x>log_2 x^100\ ->\ x*log_2 2>100*log_2 x\ ->\ x/(log_2 x)>100$ e dato che $x$ cresce più velocemente di $log_2 x$ prima o poi quel rapporto supererà $100$; se proprio vuoi, puoi farti una tabellina con i valori di $x$ e il suo logaritmo (con valori che crescono inizialmente con potenze di dieci) e dovresti arrivare abbastanza velocemente ad una buona approssimazione, senza particolari calcoli.

Cordialmente, Alex

[davikokar]

Ottimo. Grazie dei suggerimenti