[Geometria] Esercizio su Affinità

[Selesca]

Ciao! Avrei bisogno di un aiuto su un tipo di esercizio un po' ostico.


Nel piano affine reale sono dati il punto A(1,1), il punto B(2,2) e le rette
r: x = y - 1 ed s: x = 0

Determinare, se esistono, tutte le affinità f : A^2(|R) -> A^2(|R) tali che
f(A) = B f(r) = r f(s) = s

Tra le affinità trovate, c'è qualche isometria?

Mi piacerebbe anche sapere in genere come dovrei comportarmi quando non ho esattamente tre punti indipendenti e quindi l'affinità non è unica.
Spero di essere stata chiara, e spero che qualcuno sappia aiutarmi :scratch

[davi02]

Un metodo generale per risolvere questo tipo di problemi è partire dall’equazione della generica affinità del piano

[math]f(x,y) = (ax+by+p, cx+dy+q)[/math]

e impostare le equazioni in

[math]a, b, c, d, p, q[/math]

dedotte dai dati del problema.

In questo caso la condizione

[math]f(s) = s[/math]

, la più semplice delle tre, diventa

[math]f(0,y) = (by+p, dy+q) \in s \quad \forall y[/math]

cioè

[math]by+p = 0 \quad \forall y[/math]

che dà

[math]b = 0, p = 0[/math]

e quindi

[math]f(x,y) = (ax, cx+dy+q)[/math]

.

La condizione

[math]f(r) = r[/math]

diventa

[math]f(y-1,y) = (ay-a, cy-c+dy+q) \in r \quad \forall y[/math]

cioè

[math]ay-a = cy-c+dy+q-1 \quad \forall y[/math]

che dà

[math]d = a-c, q = c-a+1[/math]

e quindi

[math]f(x,y) = (ax, cx+(a-c)y+c-a+1)[/math]

.

Infine la condizione

[math]f(A) = B[/math]

diventa

[math](a, c+1) = (2,2)[/math]

che dà

[math]a = 2, c = 1[/math]

e quindi

[math]f(x,y) = (2x, x+y)[/math]

.

L’affinità è unica e non è un’isometria.