[Geometria Differenziale] Basi covariante e controvariante
Ero indeciso se postare in "Geometria e algebra lineare" o qui, ma visto che si tratta
di Geometria Differenziale, ho deciso per "Analisi Matematica"...
Consideriamo una superficie \(\mathcal S\) in uno spazio affine euclideo tridimensionale \(\mathcal E^3\).
Sia \(A\subset \mathbb R^2\) aperto e supponiamo che \(\mathcal S\)
ammetta una parametrizzazione globale e invertibile
\( A \ni (z^1,z^2) \mapsto x(z^1,z^2) \in \mathcal S \subset \mathcal E^3.\)
Dunque, questa applicazione manda una coppia di coordinate in un punto dello spazio
(o meglio, della superficie). L'inversa sarà
\(\mathcal S \ni x \mapsto (z^1(x),z^2(x))\in A \subset \mathbb R^2\),
e associa ad ogni punto la corrispondente coppia di coordinate.
Ora, supponendo che la superficie sia sufficientemente regolare, consideriamo
il piano tangente a \(\mathcal S\) in \(x\), indicato con \(\mathcal T_x \mathcal S\).
Si possono definire due basi di \(\mathcal T_x \mathcal S\), visto come spazio vettoriale a 2 dimensioni:
la base covariante, \(\mathcal B = \{\mathbf e_1(z^1,z^2), \mathbf e_2(z^1,z^2)\}\), dove
\(\displaystyle\mathbf e_\alpha(z^1,z^2) := \frac{\partial x}{\partial z^\alpha}(z^1,z^2)\quad (\alpha = 1,2)\),
e la base controvariante, \(\mathcal B'= \{\mathbf e^1(x), \mathbf e^2(x)\}\), dove
\(\mathbf e^{\alpha}(x) := {^\mathrm s}\nabla z^\alpha(x)\quad(\alpha=1,2)\),
con \({^\mathrm s}\nabla\) l'operatore di gradiente superficiale.
Interpretiamo \(\mathbf e^\alpha(z^1,z^2) \equiv \mathbf e^\alpha(x(z^1,z^2))\quad (\alpha=1,2).\)
Domanda: come si dimostra, in maniera rigorosa, che
\(\forall (z^1,z^2)\in A,\quad \mathbf e^\alpha(z^1,z^2) \cdot \mathbf e_\beta(z^1,z^2) = \delta^\alpha_\beta\quad(\alpha,\beta=1,2),\)
dove \(\delta^\alpha_\beta\) è il delta di Kronecker?
Cioè, perché vale questa proprietà per ogni punto della superficie (coppia di coordinate)?
Il modo non rigoroso e intuitivo di vederlo è considerare che
\(\displaystyle\mathbf e^\alpha \cdot \mathbf e_\beta = \text{''}\frac{\partial z^\alpha}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial z^\beta}\text{''}\)
per cui cancellando i due \(\partial x\) si ha subito il risultato cercato, ma ovviamente non ha molto senso.
So che c'entra qualcosa relativo agli spazi duali. Nel nostro caso, infatti, lo spazio vettoriale che consideriamo
è \(\mathcal V = \mathcal T_x \mathcal S\), e il suo duale è \(\mathcal V^*=\text{spazio delle applicazioni lineari da } \mathcal V \text{ in } \mathbb R\).
Ora, si può rappresentare ogni elemento di \(\mathcal V^*\) come prodotto scalare con un elemento
fissato di \(\mathcal V\), e \(\mathcal V^*\) si può identificare con \(\mathcal V\) stesso...
Credo quindi che gli elementi della base controvariante \(\mathcal B'\) si possano identificare con gli elementi di
una base \(\mathcal B^*\) di \(\mathcal V^*\), in modo tale che \(\mathcal B\) e \(\mathcal B^*\) siano basi duali...
Ma come dimostrare questo? Avete qualche idea?
di Geometria Differenziale, ho deciso per "Analisi Matematica"...
Consideriamo una superficie \(\mathcal S\) in uno spazio affine euclideo tridimensionale \(\mathcal E^3\).
Sia \(A\subset \mathbb R^2\) aperto e supponiamo che \(\mathcal S\)
ammetta una parametrizzazione globale e invertibile
\( A \ni (z^1,z^2) \mapsto x(z^1,z^2) \in \mathcal S \subset \mathcal E^3.\)
Dunque, questa applicazione manda una coppia di coordinate in un punto dello spazio
(o meglio, della superficie). L'inversa sarà
\(\mathcal S \ni x \mapsto (z^1(x),z^2(x))\in A \subset \mathbb R^2\),
e associa ad ogni punto la corrispondente coppia di coordinate.
Ora, supponendo che la superficie sia sufficientemente regolare, consideriamo
il piano tangente a \(\mathcal S\) in \(x\), indicato con \(\mathcal T_x \mathcal S\).
Si possono definire due basi di \(\mathcal T_x \mathcal S\), visto come spazio vettoriale a 2 dimensioni:
la base covariante, \(\mathcal B = \{\mathbf e_1(z^1,z^2), \mathbf e_2(z^1,z^2)\}\), dove
\(\displaystyle\mathbf e_\alpha(z^1,z^2) := \frac{\partial x}{\partial z^\alpha}(z^1,z^2)\quad (\alpha = 1,2)\),
e la base controvariante, \(\mathcal B'= \{\mathbf e^1(x), \mathbf e^2(x)\}\), dove
\(\mathbf e^{\alpha}(x) := {^\mathrm s}\nabla z^\alpha(x)\quad(\alpha=1,2)\),
con \({^\mathrm s}\nabla\) l'operatore di gradiente superficiale.
Interpretiamo \(\mathbf e^\alpha(z^1,z^2) \equiv \mathbf e^\alpha(x(z^1,z^2))\quad (\alpha=1,2).\)
Domanda: come si dimostra, in maniera rigorosa, che
\(\forall (z^1,z^2)\in A,\quad \mathbf e^\alpha(z^1,z^2) \cdot \mathbf e_\beta(z^1,z^2) = \delta^\alpha_\beta\quad(\alpha,\beta=1,2),\)
dove \(\delta^\alpha_\beta\) è il delta di Kronecker?
Cioè, perché vale questa proprietà per ogni punto della superficie (coppia di coordinate)?
Il modo non rigoroso e intuitivo di vederlo è considerare che
\(\displaystyle\mathbf e^\alpha \cdot \mathbf e_\beta = \text{''}\frac{\partial z^\alpha}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial z^\beta}\text{''}\)
per cui cancellando i due \(\partial x\) si ha subito il risultato cercato, ma ovviamente non ha molto senso.
So che c'entra qualcosa relativo agli spazi duali. Nel nostro caso, infatti, lo spazio vettoriale che consideriamo
è \(\mathcal V = \mathcal T_x \mathcal S\), e il suo duale è \(\mathcal V^*=\text{spazio delle applicazioni lineari da } \mathcal V \text{ in } \mathbb R\).
Ora, si può rappresentare ogni elemento di \(\mathcal V^*\) come prodotto scalare con un elemento
fissato di \(\mathcal V\), e \(\mathcal V^*\) si può identificare con \(\mathcal V\) stesso...
Credo quindi che gli elementi della base controvariante \(\mathcal B'\) si possano identificare con gli elementi di
una base \(\mathcal B^*\) di \(\mathcal V^*\), in modo tale che \(\mathcal B\) e \(\mathcal B^*\) siano basi duali...
Ma come dimostrare questo? Avete qualche idea?
Risposte
Forse sono riuscito a trovare la soluzione.
Dato un campo scalare \(\varphi : \mathcal S \to \mathbb R\) e data una curva sulla superficie
\((-\varepsilon,+\varepsilon) \ni t\mapsto \gamma(t) \in \mathcal S \),
tale che \(\gamma(0) = x\) e \(\dot\gamma(0) = \mathbf v\), con \(\mathbf v \in \mathcal T_x \mathcal S\),
segue dalla definizione di gradiente superficiale che
\(\displaystyle ^{\mathrm s}\nabla \varphi(x) \cdot \mathbf v = \left.\frac{\text{d}}{\text{d}t}\right|_{t=0} \varphi(\gamma(t))\).
Ora, facendo riferimento al post precedente, considero la curva \(z^2 = \text{costante}\equiv \bar z^2\) su \(\mathcal S\),
quindi avrò \(\gamma(t) = x(t,\bar z^2)\) e \(\dot\gamma(0) = \mathbf e_1\).
Di conseguenza, scegliendo \(\varphi(x) = z^2(x)\) (da cui \(^{\mathrm s}\nabla z^2 = \mathbf e^2\)) si avrà:
\(\displaystyle\mathbf e^2 \cdot \mathbf e_1 = \left.\frac{\text d}{\text d t}\right|_{t=0} z^2(x(t,\bar z^2)) = \left.\frac{\text d}{\text d t}\right|_{t=0} \bar z^2 \equiv 0;\)
se invece si considera \(\varphi(x) = z^1(x)\) (da cui \(^{\mathrm s}\nabla z^1 = \mathbf e^1\)) , si ha:
\(\displaystyle\mathbf e^1 \cdot \mathbf e_1 = \left.\frac{\text d}{\text d t}\right|_{t=0} z^1(x(t,\bar z^2)) = \left.\frac{\text d}{\text d t}\right|_{t=0} t = 1.\)
Scambiando gli indici si trova analogamente che \(\mathbf e^1 \cdot \mathbf e_2= 0\) e che \(\mathbf e^2 \cdot \mathbf e_2 = 1\).
Vi sembra corretto? Grazie.
Dato un campo scalare \(\varphi : \mathcal S \to \mathbb R\) e data una curva sulla superficie
\((-\varepsilon,+\varepsilon) \ni t\mapsto \gamma(t) \in \mathcal S \),
tale che \(\gamma(0) = x\) e \(\dot\gamma(0) = \mathbf v\), con \(\mathbf v \in \mathcal T_x \mathcal S\),
segue dalla definizione di gradiente superficiale che
\(\displaystyle ^{\mathrm s}\nabla \varphi(x) \cdot \mathbf v = \left.\frac{\text{d}}{\text{d}t}\right|_{t=0} \varphi(\gamma(t))\).
Ora, facendo riferimento al post precedente, considero la curva \(z^2 = \text{costante}\equiv \bar z^2\) su \(\mathcal S\),
quindi avrò \(\gamma(t) = x(t,\bar z^2)\) e \(\dot\gamma(0) = \mathbf e_1\).
Di conseguenza, scegliendo \(\varphi(x) = z^2(x)\) (da cui \(^{\mathrm s}\nabla z^2 = \mathbf e^2\)) si avrà:
\(\displaystyle\mathbf e^2 \cdot \mathbf e_1 = \left.\frac{\text d}{\text d t}\right|_{t=0} z^2(x(t,\bar z^2)) = \left.\frac{\text d}{\text d t}\right|_{t=0} \bar z^2 \equiv 0;\)
se invece si considera \(\varphi(x) = z^1(x)\) (da cui \(^{\mathrm s}\nabla z^1 = \mathbf e^1\)) , si ha:
\(\displaystyle\mathbf e^1 \cdot \mathbf e_1 = \left.\frac{\text d}{\text d t}\right|_{t=0} z^1(x(t,\bar z^2)) = \left.\frac{\text d}{\text d t}\right|_{t=0} t = 1.\)
Scambiando gli indici si trova analogamente che \(\mathbf e^1 \cdot \mathbf e_2= 0\) e che \(\mathbf e^2 \cdot \mathbf e_2 = 1\).
Vi sembra corretto? Grazie.
Si ma secondo me va bene anche la moltiplicazione contratta che facevi nel primo post... tanto le componenti del gradiente superficiale sono le derivate parziali... infatti la vera base controvariante dovrebbe essere a rigore la base duale, cioè quella formata dai $dx^i$, che per definizione danno $dx^i(e_j_=\delta_i^j$.
Ok, grazie mille!
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