Geometria analitica, coordinate di punti

[Annalisa0707]

Dati il punto A(1,1) e il vettore u(3,2) determinare le coordinate dei vertici B e C del triangolo ABC, rettangolo in A, sapendo che il lato AB e’ parallelo a u e che il baricentro coincide con l'origine. Nella soluzione dell'esercizio l'equazione della retta AB e’ un sistema con x=1+3t e y=1+2t e l'equazione della retta AC ha come equazione un sistema con x=1+2t' e y=1-3t' e non capisco come le abbiano trovate.

[samuele.ragolia]

Ciao Annalisa! Nella soluzione l'equazione della retta viene scritta in forma parametrica: cioe' sia la x che la y sono dipendenti da un parametro t.
Il metodo classico per scrivere una retta in forma parametrica e' questo:
Dati un punto

[math]P_0=(x_0,y_0)[/math]

e una direzione

[math]\hat{v}=(v_x,v_y)[/math]

la retta che passa per il punto e ha direzione parallela a

[math]\hat{v}[/math]

e' data dal sistema

[math]\begin{cases}x=x_0+v_xt\\ y=y_0+v_yt \end{cases}[/math]

Nell'esercizio la retta AB passa per il punto A(1,1) ed e' parallela al vettore u=(2,3).
In forma parametrica la retta AB si scrive

[math]\begin{cases} x=1+2t\\ y=1+3t \end{cases}[/math]

[PNAGPP07]

Per determinare le coordinate dei vertici B e C del triangolo ABC, dobbiamo considerare le informazioni fornite: il punto A(1,1), il vettore u(3,2), il fatto che il lato AB sia parallelo a u e che il baricentro coincida con l'origine.

Per trovare il vertice B, sappiamo che il lato AB è parallelo al vettore u(3,2). Possiamo quindi usare l'equazione parametrica di una retta per rappresentare il segmento AB come segue:

x = 1 + 3t
y = 1 + 2t

Dato che il vertice A ha coordinate (1,1), possiamo vedere che quando t = 0, otteniamo le coordinate del punto A. Possiamo ora trovare le coordinate del punto B. Sostituendo t = 1 nell'equazione, otteniamo:

x = 1 + 3(1) = 4
y = 1 + 2(1) = 3

Quindi, il vertice B ha coordinate (4,3).

Per trovare il vertice C, dobbiamo considerare il fatto che il baricentro del triangolo ABC coincida con l'origine (0,0). Il baricentro di un triangolo si trova al punto medio dei suoi vertici. Quindi, possiamo calcolare le coordinate del punto C come il punto medio tra A e B:

x_C = (x_A + x_B) / 2
y_C = (y_A + y_B) / 2

Sostituendo le coordinate di A(1,1) e B(4,3), otteniamo:

x_C = (1 + 4) / 2 = 5 / 2 = 2.5
y_C = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2

Quindi, il vertice C ha coordinate (2.5, 2).

Spero che queste spiegazioni ti abbiano aiutato a capire come sono state determinate le coordinate dei vertici B e C del triangolo ABC.