Geodetiche sfera
Come si dimostra che le geodetiche sulla sfera sono archi di cerchio massimo? MI premerebbe usare le equazioni di eulero Lagrange visto in calcolo delle variazioni:
$$\frac{d}{dt} \frac{\partial f}{\partial \dot y}=\frac{\partial f}{\partial y}$$
Ho scritto innanzitutto l'equazione parametrica della sfera in theta e phi, dopo di che ho cercato una curva del tipo $$\phi(\theta)$$. Ma non mi viene...
p.s. leggo in giro che le geodetiche sono archi di cerchio con centro in O (centro della sfera). MI domando com'è pssibile: se prendo due punti qualsiasi della sfera non è detto che l'arco di cerchio massimo che li congiunge sia centrato al centro della sfera...
$$\frac{d}{dt} \frac{\partial f}{\partial \dot y}=\frac{\partial f}{\partial y}$$
Ho scritto innanzitutto l'equazione parametrica della sfera in theta e phi, dopo di che ho cercato una curva del tipo $$\phi(\theta)$$. Ma non mi viene...
p.s. leggo in giro che le geodetiche sono archi di cerchio con centro in O (centro della sfera). MI domando com'è pssibile: se prendo due punti qualsiasi della sfera non è detto che l'arco di cerchio massimo che li congiunge sia centrato al centro della sfera...
Risposte
Posto il conto esplicito. L'equazione parametrica della sfera la conosciamo tutti; il modullo di $(x'(\theta),y'(\theta),z'(\theta))$ è
$$v=\sqrt{1+\sin^2\theta \phi'^2(\theta)}$$.
Il funzionale da minimizzare è
$$J=\int_{\theta_0}^\theta vd\theta$$.
Sia ora
$$f= =\sqrt{1+\sin^2\theta \phi'^2(\theta)}$$
Applichiamo l'equazione di eulero lagrange nella variabile $\phi$ usando come parametro $\theta$:
$$\frac{d}{d\theta} \left(\frac{\phi'\sin^2\theta}{\sqrt{1+\sin^2\theta\phi'^2(\theta)}}\right)=0$$
da cui
$$ \frac{\phi'\sin^2\theta}{\sqrt{1+\sin^2\theta\phi'^2(\theta)}}=C$$
A questo punto ho moltiplicato per il denominatore e ho semplificato, ottenendo un equazione differenziale molto difficile da risolvere...l'idea c'è?
$$v=\sqrt{1+\sin^2\theta \phi'^2(\theta)}$$.
Il funzionale da minimizzare è
$$J=\int_{\theta_0}^\theta vd\theta$$.
Sia ora
$$f= =\sqrt{1+\sin^2\theta \phi'^2(\theta)}$$
Applichiamo l'equazione di eulero lagrange nella variabile $\phi$ usando come parametro $\theta$:
$$\frac{d}{d\theta} \left(\frac{\phi'\sin^2\theta}{\sqrt{1+\sin^2\theta\phi'^2(\theta)}}\right)=0$$
da cui
$$ \frac{\phi'\sin^2\theta}{\sqrt{1+\sin^2\theta\phi'^2(\theta)}}=C$$
A questo punto ho moltiplicato per il denominatore e ho semplificato, ottenendo un equazione differenziale molto difficile da risolvere...l'idea c'è?
Visto che la superficie sferica, parametrizzata, la puoi scrivere come
$$x=R\cos\theta\sin\phi,\quad y=R\sin\theta\sin\phi,\quad z=R\cos\phi$$
la geodetica sarà una curva
$$\gamma(t)=(R\cos\theta(t)\cdot\sin\phi(t), R\sin\theta(t)\cdot\sin\phi(t),R\cos\phi(t))$$
e quindi
$$f=|\gamma'(t)|=R\sqrt{\dot{\phi}^2+\dot{\theta}^2\sin^2\phi}$$
(con il punto indio la derivata rispetto al tempo).
Tuttavia, dovresti sapere (ma non è difficile da dimostrare) che minimizzare il funzionale lunghezza, equivale a minimizzare il funzionale energia
$$\frac{1}{2}\int_a^b|\gamma'(t)|^2\ dt$$
per cui, invece che scegliere la $f$ precedente viene "meglio" scegliere questa
$$f=|\gamma'(t)|^2=R^2(\dot{\phi}^2+\dot{\theta}^2\sin^2\phi)$$
Utilizzando le equazioni di Eulero (ne devi scrivere due!) si ha
$$\frac{d}{dt}\left(2R^2\dot{\theta}\sin^2\phi\right)=0,\qquad \frac{d}{dt}\left(2R^2\dot{\phi}\right)=2R^2\dot{\theta}^2\sin\phi\cos\phi$$
Prova un po' a manipolare queste: dovresti riuscire ad ottenere una condizione che lega $\theta(t)$ e $\phi(t)$ e da questa dedurre alcune cose (in particolare: cerca di capire come si scriva l'equazione di una qualunque circonferenza massima - cioè con centro nell'origine della sfera - e vedi se per essa viene rispettatala condizione che ricavi dalle precedenti EDO).
$$x=R\cos\theta\sin\phi,\quad y=R\sin\theta\sin\phi,\quad z=R\cos\phi$$
la geodetica sarà una curva
$$\gamma(t)=(R\cos\theta(t)\cdot\sin\phi(t), R\sin\theta(t)\cdot\sin\phi(t),R\cos\phi(t))$$
e quindi
$$f=|\gamma'(t)|=R\sqrt{\dot{\phi}^2+\dot{\theta}^2\sin^2\phi}$$
(con il punto indio la derivata rispetto al tempo).
Tuttavia, dovresti sapere (ma non è difficile da dimostrare) che minimizzare il funzionale lunghezza, equivale a minimizzare il funzionale energia
$$\frac{1}{2}\int_a^b|\gamma'(t)|^2\ dt$$
per cui, invece che scegliere la $f$ precedente viene "meglio" scegliere questa
$$f=|\gamma'(t)|^2=R^2(\dot{\phi}^2+\dot{\theta}^2\sin^2\phi)$$
Utilizzando le equazioni di Eulero (ne devi scrivere due!) si ha
$$\frac{d}{dt}\left(2R^2\dot{\theta}\sin^2\phi\right)=0,\qquad \frac{d}{dt}\left(2R^2\dot{\phi}\right)=2R^2\dot{\theta}^2\sin\phi\cos\phi$$
Prova un po' a manipolare queste: dovresti riuscire ad ottenere una condizione che lega $\theta(t)$ e $\phi(t)$ e da questa dedurre alcune cose (in particolare: cerca di capire come si scriva l'equazione di una qualunque circonferenza massima - cioè con centro nell'origine della sfera - e vedi se per essa viene rispettatala condizione che ricavi dalle precedenti EDO).
Come scrivo in coordinate sferiche una circonferenza centrata nell'origine
Ma stai scherzando o cosa? Te l'ho fatta io la domanda, prova a rispondere, no?
Hint: considera che una tale circonferenza si ottiene come intersezione della sfera e di un piano qualsiasi passante per l'origine.
Hint: considera che una tale circonferenza si ottiene come intersezione della sfera e di un piano qualsiasi passante per l'origine.
una circonferenza passante per l'origine è
$$ax+by+cz=0$$
A questo punto "idealmente" dovrei sostituire
$x=r\sin\theta\cos\phi$,
$y=r\sin\theta\cos\\phi$
$z=r\cos\theta$
E mi viene un'equazione che mi lega in qualche modo i tre parametri $$r,\theta,\phi$$. Se poi vincolo $r=R=$raggio sfera, mi trovo un espressione ben precisa tra i due angoli.
$$ax+by+cz=0$$
A questo punto "idealmente" dovrei sostituire
$x=r\sin\theta\cos\phi$,
$y=r\sin\theta\cos\\phi$
$z=r\cos\theta$
E mi viene un'equazione che mi lega in qualche modo i tre parametri $$r,\theta,\phi$$. Se poi vincolo $r=R=$raggio sfera, mi trovo un espressione ben precisa tra i due angoli.
Esatto. Ora vedi un po' cosa puoi dire di quelle equazioni e di questa.
Allora, voglio cercare una curva $$\phi(\theta)$$ che mi restituisce la geodetica, ovvero che minimizza la lunghezza $$L=\int \sqrt{1+\phi'^2\cos^2\theta}$$ dove $\phi'$ è la derivata rispetto a $\phi$.
L'equazione di eulero è
$\frac{d}{dt}\frac{\phi' \sin^2\theta}{\sqrt{1+\phi'^2\sin^2\theta}} = 0$ ovvero $\frac{\phi' \sin^2\theta}{\sqrt{1+\phi'^2\sin^2\theta}}=C$. Riordinando ed elevando al quadrato ottengo
$$\phi' = \frac{K}{\sin\theta\sqrt{1+\sin^2\theta}}$$
e quindi otterrei $\phi$ per integrazione.
L'equazione di eulero è
$\frac{d}{dt}\frac{\phi' \sin^2\theta}{\sqrt{1+\phi'^2\sin^2\theta}} = 0$ ovvero $\frac{\phi' \sin^2\theta}{\sqrt{1+\phi'^2\sin^2\theta}}=C$. Riordinando ed elevando al quadrato ottengo
$$\phi' = \frac{K}{\sin\theta\sqrt{1+\sin^2\theta}}$$
e quindi otterrei $\phi$ per integrazione.
Ma quello che ho scritto sopra lo hai letto? Lo vedi che l'equazione che ho scritto io e quella che scrivi tu sono completamente differenti? Tra l'altro, mi dici quali sono le condizioni che assicurano che la tua curva $\phi(\theta)$ appartenga alla sfera? Perché scritto così, non si capisce da dove venga fuori il tutto.
Vedo di spiegarti meglio dove non va il tuo ragionamento, facendo delle considerazioni generali. Hai una superficie
$$s(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$$
e su essa costruisci una curva: pertanto essa deve essere del tipo
$$\gamma(t)=(x(u(t),v(t)),y(u(t),v(t)),z(u(t),v(t)))$$
Ora, indichiamo con
$$E=s_u\cdot s_u,\quad F=s_u\cdot s_v,\quad G=s_v\cdot s_v$$
il prodotto scalare tra i vettori derivati della superficie. Osserva che $E,F,G$ dipendono solo da $u,v$. A questo punto vediamo cosa va minimizzato: indico con il punto la derivata rispetto a $t$ per cui
$$|\dot{\gamma}(t)|^2=(x_u \dot{u}+x_v\dot{v})^2+(y_u \dot{u}+y_v\dot{v})^2+(z_u \dot{u}+z_v\dot{v})^2=E\dot{u}^2+2F\dot{u}\dot{v}+G\dot{v}^2$$
(basta fare un po' di conti). Minimizzare la lunghezza equivale a minimizzare l'energia, che è espressa proprio da ciò che ho scritto, e pertanto, usando le due equazioni di Eulero per $u,v$ si ha
$$f_u=E_u\dot{u}^2+2F_u\dot{u}\dot{v}+G_u\dot{v}^2,\quad f_{\dot{u}}=2\dot{u} E+2\dot{v} F,\\ \dot{f_{\dot{u}}}=2\ddot{u} E+2\ddot{v} F+2\dot{u}^2 E_u+2\dot{v}^2 F_v+2\dot{u}\dot{v}(E_v+F_u)$$
e
$$f_v=E_v\dot{u}^2+2F_v\dot{u}\dot{v}+G_v\dot{v}^2,\quad f_{\dot{v}}=2\dot{u} F+2\dot{v} G\\
\dot{f_{\dot{v}}}=2\ddot{u} F+2\ddot{v} G+2\dot{u}^2 F_u+2\dot{v}^2 G_v+2\dot{u}\dot{v}(F_v+G_u)\\ $$
da cui il sistema di equazioni per le geodetiche
$$\left\{\begin{array}{l}
2\ddot{u} E+2\ddot{v} F=-E_u \dot{u}^2+(G_u-2F)\dot{v}^2-2E_v\dot{u}\dot{v}\\
2\ddot{u} F+2\ddot{v} G=(E_v-2F_u)\dot{u}^2-G_v\dot{v}^2-2G_u\dot{u}\dot{v}
\end{array}\right.$$
Nel caso in esame, data la parametrizzazione scritta prima per la sfera, si ha
$$s(u,v)=R(\cos u\sin v,\sin u\sin v,\cos v)$$
da cui
$$s_u=R(-\sin u\sin v, \cos u\sin v,0),\quad s_v=R(\cos u\cos v, \sin u\cos v,-\sin v)$$
e quindi
$$E=R^2\sin^2 v,\quad F=0,\quad G=R^2$$
Ne segue che le equazioni per le Geodetiche divengono
$$\ddot{u}\sin v=-2\dot{u}\dot{v}\cos v\qquad \ddot{v}=\dot{v}^2\sin v\cos v$$
$$s(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$$
e su essa costruisci una curva: pertanto essa deve essere del tipo
$$\gamma(t)=(x(u(t),v(t)),y(u(t),v(t)),z(u(t),v(t)))$$
Ora, indichiamo con
$$E=s_u\cdot s_u,\quad F=s_u\cdot s_v,\quad G=s_v\cdot s_v$$
il prodotto scalare tra i vettori derivati della superficie. Osserva che $E,F,G$ dipendono solo da $u,v$. A questo punto vediamo cosa va minimizzato: indico con il punto la derivata rispetto a $t$ per cui
$$|\dot{\gamma}(t)|^2=(x_u \dot{u}+x_v\dot{v})^2+(y_u \dot{u}+y_v\dot{v})^2+(z_u \dot{u}+z_v\dot{v})^2=E\dot{u}^2+2F\dot{u}\dot{v}+G\dot{v}^2$$
(basta fare un po' di conti). Minimizzare la lunghezza equivale a minimizzare l'energia, che è espressa proprio da ciò che ho scritto, e pertanto, usando le due equazioni di Eulero per $u,v$ si ha
$$f_u=E_u\dot{u}^2+2F_u\dot{u}\dot{v}+G_u\dot{v}^2,\quad f_{\dot{u}}=2\dot{u} E+2\dot{v} F,\\ \dot{f_{\dot{u}}}=2\ddot{u} E+2\ddot{v} F+2\dot{u}^2 E_u+2\dot{v}^2 F_v+2\dot{u}\dot{v}(E_v+F_u)$$
e
$$f_v=E_v\dot{u}^2+2F_v\dot{u}\dot{v}+G_v\dot{v}^2,\quad f_{\dot{v}}=2\dot{u} F+2\dot{v} G\\
\dot{f_{\dot{v}}}=2\ddot{u} F+2\ddot{v} G+2\dot{u}^2 F_u+2\dot{v}^2 G_v+2\dot{u}\dot{v}(F_v+G_u)\\ $$
da cui il sistema di equazioni per le geodetiche
$$\left\{\begin{array}{l}
2\ddot{u} E+2\ddot{v} F=-E_u \dot{u}^2+(G_u-2F)\dot{v}^2-2E_v\dot{u}\dot{v}\\
2\ddot{u} F+2\ddot{v} G=(E_v-2F_u)\dot{u}^2-G_v\dot{v}^2-2G_u\dot{u}\dot{v}
\end{array}\right.$$
Nel caso in esame, data la parametrizzazione scritta prima per la sfera, si ha
$$s(u,v)=R(\cos u\sin v,\sin u\sin v,\cos v)$$
da cui
$$s_u=R(-\sin u\sin v, \cos u\sin v,0),\quad s_v=R(\cos u\cos v, \sin u\cos v,-\sin v)$$
e quindi
$$E=R^2\sin^2 v,\quad F=0,\quad G=R^2$$
Ne segue che le equazioni per le Geodetiche divengono
$$\ddot{u}\sin v=-2\dot{u}\dot{v}\cos v\qquad \ddot{v}=\dot{v}^2\sin v\cos v$$
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