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[vecchio1]

elgiovo probabilmente sa rispondermi..ma se qualcun altro vuol farlo è benvenuto! Tanto per cambiare non mi ricordo una cosa...e cioè: data una formula ricorsiva come si arriva alla formula chiusa.

La mia formula ricorsiva è:

$psi_k=psi_(k-1)+ a/n d/dx(psi_(k-1))$

k va da 1 a n.
conosco il risultato..ma, per ora almeno, non riesco a dimostrarlo. Io intanto continuo a pensare.

ciao ciao
il vecchio

[vecchio1]

se non fossi stato chiaro...io voglio una formula che mi dica $psi_n=f(psi_0)$.

scusate la forse inutile precisazione.
il vecchio

[elgiovo]

Quindi $psi_k$ è una funzione di $x$?

[elgiovo]

In attesa di conferme o smentite, posto
un tentativo: da $psi_k=psi_(k-1)+a/n (dpsi_(k-1))/(dx)$
si ha $psi_k=psi_(k-1)(1+a/n d/(dx))$. Quindi ogni termine
della successione è ottenuto moltiplicando il
precedente per il fattore $(1+a/n d/(dx))$.
Da qui, semplicemente, $psi_n=psi_0(1+a/n d/(dx))^n$ (1).
Dalla formula chiusa (1) non è molto chiaro chi sia
$psi_n$, perciò calcoliamo i primi termini, per cercare
di individuare una regola.
$psi_1=psi_0(1+a/n d/(dx))=psi_0+a/n (dpsi_0)/(dx)$
$psi_2=psi_0(1+a/n d/(dx))^2=psi_0+2 a/n (dpsi_0)/(dx)+a^2/n^2 (d^2psi_0)/(dx^2)$
$psi_3=psi_0(1+a/n d/(dx))^3=psi_0+3 a/n (dpsi_0)/(dx)+3a^2/n^2 (d^2psi_0)/(dx^2)+a^3/n^3 (d^3psi_0)/(dx^3)$
...

In generale, quindi, $psi_n=sum_(k=0)^n ((n),(k))(a/n)^k (d^kpsi_0)/(dx^k)=n!sum_(k=0)^n ((a/n)^k (d^kpsi_0)/(dx^k))/(k!(n-k)!)$.
Tra l'altro faccio notare che si poteva giungere
alla soluzione scrivendo per mezzo dei coefficienti
binomiali la potenza $n$-esima del binomio $1+a/n d/(dx)$.

[vecchio1]

eccomi..scusami...ero immerso in tentativi..mi pare che sia tutto giusto...io non ero arrivato ai coefficienti binomiali...perchè non mi serviva in realtà lo sviluppo per n qualsiasi, ma per n->infinito, sicchè ad un certo punto ho potuto scrivere tutto come un esponenziale e quindi con lo sviluppo dell'esponenziale.
Cmq bravo..a volte cose "evidenti" risultano le più oscure!!
grazie di tutto

il vecchio