Generalizzazione sul metodo delle differenze finite
Ciao a tutti,
premetto che posto se questa sezione perché più che un problema di analisi numerica è un problema di analisi, spero di aver postato nella sezione giusta.
In un corso di analisi Numerica, dopo aver parlato di differenze finite (centrate, non centrate, equispaziate, e non equispaziate) è stato proposto ciò:
Considero i nodi in questo modo (scusate se posto l'immagine ma non saprei come fare altrimenti)
In poche parole, mi sta chiedendo un approccio di questo tipo: l'unica differenza, è che tra ogni nodo $x_i$ non c'è un passo costante $h$, ma chiaramente dipende dal nodo che scelgo.
La tecnica è quella di espandere in serie di Taylor: centro nel nodo $x_i$, con resto di Lagrange, e metto queste 4 condizioni a sistema:
$ { (u(x_{i+1})=u(x_i) + u'(x_i)h_i + u''(x_i) h_i^2/2 + u'''(x_i)h_i^3/6 + u^{(4)}(bar(z))h_i^4/24 ),( u(x_i)=u(x_i) ),( u(x_{i-1})=u(x_i) - u'(x_i)h_{i-1} + u''(x_i) h_{i-1}^2/2 - u'''(x_i)h_{i-1}^3/6 + u^{(4)}(bar(z))h_{i-1}^4/24 ),( u(x_{i+2})=u(x_i) + u'(x_i)(h_i+h_{i+1}) + u''(x_i) (h_i+h_{i+1})^2/2 + u'''(x_i)(h_i+h_{i+1})^3/6 + u^{(4)}(bar(z))(h_i+h_{i+1})^4/24):} $
Ora combino linearmente queste 4 condizioni, ossia moltiplico la prima per un coefficiente $alpha$, la seconda per $\beta$, la terza per $\gamma$, la quarta per $\delta$. Impongo, come fatto nella pagina linkata, (e come fatto a lezione per il caso non centrato) che del membro di destra rimanga soltanto la derivata prima, mentre gli altri termini si elidano.
Formalmente, le incognite sono i coefficienti $\alpha, beta, gamma, delta$, mentre i passi $h_{i-1},h_i,h_{i+1}$ sono dati.
$alpha+ beta + \gamma +\delta=0$
$alpha h_i + \delta(h_i + h_{i+1}) - \gamma h_{i-1}=1$ (sono i coefficienti della derivata prima)
$alpha h_i^2/2 + beta h_{i-1}^2 /2 + \delta (h_i + h_{i+1})^2/2 =0$
$alpha h_i^3/6 - \gamma h_{i-1}^3/6+ \delta(h_i + h_{i+1})^3/6 =0$
Queste condizioni a sistema formano un onesto sistema lineare, che sono riuscito a verificare che ammette un'unica soluzione, che ovviamente ho trovato tramite Maxima, e che purtroppo è un bello schifo.
Una volta trovati questi coefficienti, trovare l'espressione della derivata prima è algebretta...
La vera domanda è: fino all'impostazione del sistema (parametrico rispetto ai passi), è tutto ok? E se così fosse, per capire la convergenza del metodo che si può fare?
premetto che posto se questa sezione perché più che un problema di analisi numerica è un problema di analisi, spero di aver postato nella sezione giusta.
In un corso di analisi Numerica, dopo aver parlato di differenze finite (centrate, non centrate, equispaziate, e non equispaziate) è stato proposto ciò:
Trovare l'espressione della derivata prima tramite FD (finite differences) non centrate, non equispaziate, per un ordine a scelta.
Considero i nodi in questo modo (scusate se posto l'immagine ma non saprei come fare altrimenti)
In poche parole, mi sta chiedendo un approccio di questo tipo: l'unica differenza, è che tra ogni nodo $x_i$ non c'è un passo costante $h$, ma chiaramente dipende dal nodo che scelgo.
La tecnica è quella di espandere in serie di Taylor: centro nel nodo $x_i$, con resto di Lagrange, e metto queste 4 condizioni a sistema:
$ { (u(x_{i+1})=u(x_i) + u'(x_i)h_i + u''(x_i) h_i^2/2 + u'''(x_i)h_i^3/6 + u^{(4)}(bar(z))h_i^4/24 ),( u(x_i)=u(x_i) ),( u(x_{i-1})=u(x_i) - u'(x_i)h_{i-1} + u''(x_i) h_{i-1}^2/2 - u'''(x_i)h_{i-1}^3/6 + u^{(4)}(bar(z))h_{i-1}^4/24 ),( u(x_{i+2})=u(x_i) + u'(x_i)(h_i+h_{i+1}) + u''(x_i) (h_i+h_{i+1})^2/2 + u'''(x_i)(h_i+h_{i+1})^3/6 + u^{(4)}(bar(z))(h_i+h_{i+1})^4/24):} $
Ora combino linearmente queste 4 condizioni, ossia moltiplico la prima per un coefficiente $alpha$, la seconda per $\beta$, la terza per $\gamma$, la quarta per $\delta$. Impongo, come fatto nella pagina linkata, (e come fatto a lezione per il caso non centrato) che del membro di destra rimanga soltanto la derivata prima, mentre gli altri termini si elidano.
Formalmente, le incognite sono i coefficienti $\alpha, beta, gamma, delta$, mentre i passi $h_{i-1},h_i,h_{i+1}$ sono dati.
$alpha+ beta + \gamma +\delta=0$
$alpha h_i + \delta(h_i + h_{i+1}) - \gamma h_{i-1}=1$ (sono i coefficienti della derivata prima)
$alpha h_i^2/2 + beta h_{i-1}^2 /2 + \delta (h_i + h_{i+1})^2/2 =0$
$alpha h_i^3/6 - \gamma h_{i-1}^3/6+ \delta(h_i + h_{i+1})^3/6 =0$
Queste condizioni a sistema formano un onesto sistema lineare, che sono riuscito a verificare che ammette un'unica soluzione, che ovviamente ho trovato tramite Maxima, e che purtroppo è un bello schifo.
Una volta trovati questi coefficienti, trovare l'espressione della derivata prima è algebretta...
La vera domanda è: fino all'impostazione del sistema (parametrico rispetto ai passi), è tutto ok? E se così fosse, per capire la convergenza del metodo che si può fare?
Risposte
up! Comincio a credere che l'errore commesso nella derivata prima sia un' $O(max{h_{i-1},h_{i},h_{i+1}})$... vediamo come va a finire 
Uppo nella speranza di un hint
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