Generalizzazione prodotto derivate
come si dimostra che:
$ \frac{d}{dx} \prod_{i=1}^k f_i(x) = (\sum_{i=1}^k \frac{\frac{d}{dx} f_i(x)}{f_i(x)}) \prod_{i=1}^k f_i(x) $
ho provato un po' ma nn sono andato da nessuna parte
$ \frac{d}{dx} \prod_{i=1}^k f_i(x) = (\sum_{i=1}^k \frac{\frac{d}{dx} f_i(x)}{f_i(x)}) \prod_{i=1}^k f_i(x) $
ho provato un po' ma nn sono andato da nessuna parte
Risposte
$ \frac{d}{dx} \prod_{i=1}^k f_i(x) =\frac{d}{dx}[f_1(x)f_2(x)...f_n(x)]=$
$= [f'_1(x)f_2(x)...f_(n-1)(x)f_n(x)] +[f_1(x)f'_2(x)...f_(n-1)(x)f_n(x)]+...+ [f_1(x)f_2(x)...f_(n-1)(x)f'_n(x)] = $
$= (f'_1(x))/(f_1(x)) [f_1(x)f_2(x)...f_(n-1)(x)f_n(x)] + (f'_2(x))/(f_2(x))[f_1(x)f_2(x)...f_(n-1)(x)f_n(x)]+...$
$+(f'_n(x))/(f_n(x))[f_1(x)f_2(x)...f_(n-1)(x)f_n(x)]= $
$= [(f'_1(x))/(f_1(x))+(f'_2(x))/(f_2(x))+...+(f'_n(x))/(f_n(x))][f_1(x)f_2(x)...f_(n-1)(x)f_n(x)]=$
$=(\sum_{i=1}^k \frac{\frac{d}{dx} f_i(x)}{f_i(x)}) \prod_{i=1}^k f_i(x) $
karl
$= [f'_1(x)f_2(x)...f_(n-1)(x)f_n(x)] +[f_1(x)f'_2(x)...f_(n-1)(x)f_n(x)]+...+ [f_1(x)f_2(x)...f_(n-1)(x)f'_n(x)] = $
$= (f'_1(x))/(f_1(x)) [f_1(x)f_2(x)...f_(n-1)(x)f_n(x)] + (f'_2(x))/(f_2(x))[f_1(x)f_2(x)...f_(n-1)(x)f_n(x)]+...$
$+(f'_n(x))/(f_n(x))[f_1(x)f_2(x)...f_(n-1)(x)f_n(x)]= $
$= [(f'_1(x))/(f_1(x))+(f'_2(x))/(f_2(x))+...+(f'_n(x))/(f_n(x))][f_1(x)f_2(x)...f_(n-1)(x)f_n(x)]=$
$=(\sum_{i=1}^k \frac{\frac{d}{dx} f_i(x)}{f_i(x)}) \prod_{i=1}^k f_i(x) $
karl
$ddx[f1(x)f2(x)...fn(x)]=$
$=[f'1(x)f2(x)...fn-1(x)fn(x)]+[f1(x)f'2(x)...fn-1(x)fn(x)]+...+[f1(x)f2(x)...fn-1(x)f'n(x)]= $
no aspetta ma io volevo dimostrare proprio questo, cioe' come si generalizza la regola del prodotto fra 2 funzioni?
Il discorso e' ora diverso.La formula che generalizza la regola di
derivazione del prodotto di 2 funzioni si puo' dimostrare per
induzione e si trova su qualsiasi testo di analisi (volendo anche
su qualche buon testo di liceo).
karl
derivazione del prodotto di 2 funzioni si puo' dimostrare per
induzione e si trova su qualsiasi testo di analisi (volendo anche
su qualche buon testo di liceo).
karl
non per essere insistente, ma sui miei testi e' dato come esercizio...
La dimostrazione e' facile anche se pesante da scrivere.
La formula e' certamente valida per n=2,allora supponiamola vera
per n-1 e dimostriamola vera anche per n
Per la proprieta' associativa del prodotto si ha allora (D=derivata):
$D(f_1f_2...f_(n-1)f_n)=D[(f_1f_2..f_(n-1))f_n]$
Poiche' la formula e' vera per n=2 ,considerando $f_1f_2...f_(n-1) $ come
un unico fattore,risulta:
$D(f_1f_2...f_(n-1)f_n)=D(f_1f_2..f_(n-1))f_n+ (f_1f_2...f_(n-1))Df_n $
Ma per ipotesi la formula e' vera per n-1 e quindi potremo scrivere:
$D(f_1f_2...f_(n-1)f_n)=[f'_1f_2...f_(n-1)+f_1f'_2...f_(n-1)+...+f_1f_2...f'_(n-1)]f_n+ (f_1f_2...f_(n-1))f'_n $
Moltiplicando si ottiene la formula richiesta:
$D(f_1f_2...f_(n-1)f_n)=f'_1f_2...f_(n-1)f_n+f_1f'_2...f_(n-1)f_n+...+f_1f_2...f'_(n-1)f_n+ f_1f_2...f_(n-1)f'_n $
Naturalmente in quanto precede devono essere rispettate le condizioni di derivabilita'
per le funzioni in gioco.
karl
La formula e' certamente valida per n=2,allora supponiamola vera
per n-1 e dimostriamola vera anche per n
Per la proprieta' associativa del prodotto si ha allora (D=derivata):
$D(f_1f_2...f_(n-1)f_n)=D[(f_1f_2..f_(n-1))f_n]$
Poiche' la formula e' vera per n=2 ,considerando $f_1f_2...f_(n-1) $ come
un unico fattore,risulta:
$D(f_1f_2...f_(n-1)f_n)=D(f_1f_2..f_(n-1))f_n+ (f_1f_2...f_(n-1))Df_n $
Ma per ipotesi la formula e' vera per n-1 e quindi potremo scrivere:
$D(f_1f_2...f_(n-1)f_n)=[f'_1f_2...f_(n-1)+f_1f'_2...f_(n-1)+...+f_1f_2...f'_(n-1)]f_n+ (f_1f_2...f_(n-1))f'_n $
Moltiplicando si ottiene la formula richiesta:
$D(f_1f_2...f_(n-1)f_n)=f'_1f_2...f_(n-1)f_n+f_1f'_2...f_(n-1)f_n+...+f_1f_2...f'_(n-1)f_n+ f_1f_2...f_(n-1)f'_n $
Naturalmente in quanto precede devono essere rispettate le condizioni di derivabilita'
per le funzioni in gioco.
karl
grazie per la pazienza, continuavo a fare un errore stupidissimo.
thx
thx
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