Generalizzazione del concetto di integrale (sommabilità)
tra gli esercizi che la prof mette nel compito c'è ne sempre uno che recita:
data la funzione f
a)si dimostri la sommabilità della funzione in [a,b]
b)calcolare l'integrale definito a tale intervallo
ora il problema che ho è risolvere il quesito "a", io so che una funzione è sommabile se l'integrale di f in quell' intervallo e finito, ma se fosse così allora basterebbe risolvere solo il quesito "b" , quindi sicuramente sto sbagliando il ragionamento, se qualcono mi chiarisce mglio cosa sia la sommabilità e come si dimostra ne sarei grato.
data la funzione f
a)si dimostri la sommabilità della funzione in [a,b]
b)calcolare l'integrale definito a tale intervallo
ora il problema che ho è risolvere il quesito "a", io so che una funzione è sommabile se l'integrale di f in quell' intervallo e finito, ma se fosse così allora basterebbe risolvere solo il quesito "b" , quindi sicuramente sto sbagliando il ragionamento, se qualcono mi chiarisce mglio cosa sia la sommabilità e come si dimostra ne sarei grato.
Risposte
L' "oppure verificare" sta appunto per "se lo calcoli e ti viene qualcosa di finito è chiaro che è sommabile".
Paola
Paola
Curioso però. "Dimostrare" o "verificare" qualcosa non è forse lo stesso... Perché scriverlo due volte?
[mod="dissonance"]In ogni caso ti prego di modificare il titolo mettendone uno più specifico. Consulta il regolamento (clic), per favore.
Grazie.[/mod]
[mod="dissonance"]In ogni caso ti prego di modificare il titolo mettendone uno più specifico. Consulta il regolamento (clic), per favore.
Grazie.[/mod]
scusate titolo modificato 
"oppure verificare" stava ad indicare che a volte invece di mettere si dimostri mette verificare comunque l'ho tolto per non cereare equivoci .
"oppure verificare" stava ad indicare che a volte invece di mettere si dimostri mette verificare comunque l'ho tolto per non cereare equivoci .
nessuno sa di cosa sto parlando?! o vi sono antipatico ?!!
Per dimostrare la sommabilità non è di norma necessario calcolare esplicitamente l'integrale (basta usare qualche criterio).
Il testo dell'esercizio sembra chiaro:
prima dimostra (usando qualche criterio, tipo confronto o quello che ti pare) che la funzione è sommabile, dopo calcola esplicitamente il valore dell'integrale.
La seconda che hai detto
PS: da regolamento non sono ammessi gli "up" prima di 24 ore.
Il testo dell'esercizio sembra chiaro:
prima dimostra (usando qualche criterio, tipo confronto o quello che ti pare) che la funzione è sommabile, dopo calcola esplicitamente il valore dell'integrale.
"frenchi house":
nessuno sa di cosa sto parlando?! o vi sono antipatico ?!!
La seconda che hai detto
PS: da regolamento non sono ammessi gli "up" prima di 24 ore.
per confrontarla con qualche altra funzione devo sapere che anche l'altra è sommabile , e come faccio a vedere se una funzione e sommabile in generale?
grazie !!!!
tanto gia lo sapevo
grazie !!!!
La seconda che hai detto
tanto gia lo sapevo
Per un certo numero di funzioni la sommabilità viene dimostrata facendo vedere direttamente che l'integrale è convergente; è il caso, ad esempio, delle funzioni del tipo $1/x^{\alpha}$ (per $x\to +\infty$) oppure $\frac{1}{|x-x_0|^{\alpha}}$ (per $x\to x_0$).
Queste funzioni vengono poi utilizzate per effettuare i confronti.
E' un po' come per le serie: solo di poche serie tu sai dimostrare la convergenza calcolandone esplicitamente la somma; queste "poche" le usi poi come termine di confronto quando vuoi studiare la convergenza di serie più complicate (per le quali, ad esempio, non sai calcolare esplicitamente la somma).
Queste funzioni vengono poi utilizzate per effettuare i confronti.
E' un po' come per le serie: solo di poche serie tu sai dimostrare la convergenza calcolandone esplicitamente la somma; queste "poche" le usi poi come termine di confronto quando vuoi studiare la convergenza di serie più complicate (per le quali, ad esempio, non sai calcolare esplicitamente la somma).
"Rigel":
Per un certo numero di funzioni la sommabilità viene dimostrata facendo vedere direttamente che l'integrale è convergente; è il caso, ad esempio, delle funzioni del tipo $1/x^{\alpha}$ (per $x\to +\infty$) oppure $\frac{1}{|x-x_0|^{\alpha}}$ (per $x\to x_0$).
Queste funzioni vengono poi utilizzate per effettuare i confronti.
E' un po' come per le serie: solo di poche serie tu sai dimostrare la convergenza calcolandone esplicitamente la somma; queste "poche" le usi poi come termine di confronto quando vuoi studiare la convergenza di serie più complicate (per le quali, ad esempio, non sai calcolare esplicitamente la somma).
quindi gia che ci siamo come la dimostri la sommabilita in $[0,π/4]$
$1/(cos xsqrt(1 − 2 sin^2 x)$
questa dovrei confrontarla con $\frac{1}{|x-x_0|^{\alpha}}$ (per $x\to x_0$), particamente dovrei stabilire l'ordine di infinito o di infinitesimo, quindi faccio il limite per $x\to 0 $ e di $x\to π/4 $ di $1/(cos xsqrt(1 − 2 sin^2 x)$/$\frac{1}{|x-x_0|^{\alpha}}$ e poi che vedo ( o sto sbagliando tutto)
cmq grazie mille Rigel
Nell'intorno di $x=0 $ la funzione integranda tende a $1 $ e quindi la funzione è integrabile.
Nell'intorno di $x=pi/4 $ invece il denominatore tende a $0 $ e la funzione integranda è illimitata.
Bisogna verificare come tende all' $oo $.
Esaminiamo il denominatore $ cos x sqrt(1-2sin^2x ) $ ; se $ xrarr pi/4 $ allora $cos x rarr sqrt(2)/2 $ e qusto non crea problemi.
Il termine critico è chiaramente $sqrt(1-2sin^2x )$ nel quale conviene esplicitare la criticità operando così $sqrt((1+sqrt(2)sin x) ( 1-sqrt(2) sinx )) $ .
Il primo fattore non dà criticità , il secondo sì perchè si annula.
Come si annulla ? come $(1-sqrt(2)sinx)^(1/2) $ e quindi l'esponente è $1/2 < 1 $....a te la conclusione.
Nell'intorno di $x=pi/4 $ invece il denominatore tende a $0 $ e la funzione integranda è illimitata.
Bisogna verificare come tende all' $oo $.
Esaminiamo il denominatore $ cos x sqrt(1-2sin^2x ) $ ; se $ xrarr pi/4 $ allora $cos x rarr sqrt(2)/2 $ e qusto non crea problemi.
Il termine critico è chiaramente $sqrt(1-2sin^2x )$ nel quale conviene esplicitare la criticità operando così $sqrt((1+sqrt(2)sin x) ( 1-sqrt(2) sinx )) $ .
Il primo fattore non dà criticità , il secondo sì perchè si annula.
Come si annulla ? come $(1-sqrt(2)sinx)^(1/2) $ e quindi l'esponente è $1/2 < 1 $....a te la conclusione.
"Camillo":
Nell'intorno di $x=0 $ la funzione integranda tende a $1 $ e quindi la funzione è integrabile.
Nell'intorno di $x=pi/4 $ invece il denominatore tende a $0 $ e la funzione integranda è illimitata.
Bisogna verificare come tende all' $oo $.
Esaminiamo il denominatore $ cos x sqrt(1-2sin^2x ) $ ; se $ xrarr pi/4 $ allora $cos x rarr sqrt(2)/2 $ e qusto non crea problemi.
Il termine critico è chiaramente $sqrt(1-2sin^2x )$ nel quale conviene esplicitare la criticità operando così $sqrt((1+sqrt(2)sin x) ( 1-sqrt(2) sinx )) $ .
Il primo fattore non dà criticità , il secondo sì perchè si annula.
Come si annulla ? come $(1-sqrt(2)sinx)^(1/2) $ e quindi l'esponente è $1/2 < 1 $....a te la conclusione.
quindi dovrebbe essere sommabile nell'intervallo dato visto che $1/2<1$
ricapitolando per dimostrare la sommabilità di una funzione in un intervallo dato faccio in questo modo:
svolgo i limiti agli estremi dell'intervallo, o nei punti di eventuale discontinuità , nei limiti infiniti controllo il grado del fattore che mi da criticità , se questo è <1 la funzione è sommabile se è maggiore no. Giusto ?!
thanks camillo
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