Gauss o no??

[mashiro1]

allora, vi espongo il mio problema..
questo e' l'esercizio:
Dati la supercie
$C := f(x; y; z)$ in $R^3 : x^2 + y^2 = 1; |z|<= 1$
(orientata a piacere) e il campo di vettori
$F(x; y; z) := (e^(-z^2), e^(-z^2), 0)$
calcolare

$int_CF(x,y,z)*ds$

allora, la superficie in questione non e' chiusa, quindi in teoria non si puo' invocare a gran voce il teorema di Gauss, tuttavia, essendo la componente del campo F lungo z nulla, il flusso anche se ci fosse il "coperchio" del cilindro, sarebbe nullo, percio' posso permettermi di utilizzare il teorema di gauss??
qual e' il metodo piu' semplice secondo voi per risolvere questo esercizio??

[alle.fabbri]

Con usare il teorema di Gauss intendi che vuoi integrare la divergenza del campo nel volume racchiuso dalla superficie? La superficie è chiusa perchè hai la condizione |z|<1 cioè -1

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[mashiro1]

quello e' cio' che intendo con usare Gauss..
quello che mi domando e' quale sia il modo piu' semplice di affrontare questo problema.
cmq la superficie non mi sembra chiusa come dici tu, e' un cilindro di raggio unitario con asse parallelo a Z, ma e' senza "coperchi" infatti $x^2+y^2=1$ non $x^2+y^2<=1$ quindi il dominio sul piano xy e' la sola circonferenza, non il cerchio.. almeno credo..

[alle.fabbri]

si scusa...sono io che sbaglio e dico sempre cerchio invece di circonferenza......cmq hai ragione te, i "coperchi" non ci sono. In ogni caso anche se ci fossero il contributo sarebbe nullo, quindi puoi considerare come se ci fossero e chiudere la superficie in modo da poter usare gauss, che tra l'altro mi pare il metodo più rapido siccome la divergenza di quel campo è nulla.

[mashiro1]

eccola qui! li ti volevo... bellissimo!
grazie.
in ogni caso, se non potessi usare il teorema di gauss, la cosa piu' decente da fare immagino sia passare alle coordinate cilindriche..
ma a questo punto come si farebbe a svolgere l'integrale??
come si fa??

[alle.fabbri]

Siccome il campo è orientato lungo il vettore (1,1,0) possiamo studiare il flusso su un piano xy con z = k = cost. Lì conviene scegliere come sistema di coordinate quello in cui l'asse x coincide con il vettore (1,1,k) e descriverlo in coordinate cilindriche. Siccome la normale alla circonferenza è il versore radiale, il prodotto scalare tra il campo e la normale alla superficie sarà uguale alla componente lungo x del versore radiale cioè $e^(-z^2) cos \theta$ da integrare in z da -1 a 1 e in $\theta$ da 0 a $2 \pi$. L'integrale del coseno sul periodo si annulla...e hai che il flusso è nullo. Ti convince?

[mashiro1]

non saprei.. mi sembra avere senso, ma non mi convince quel prodotto $e^(-z^2)cos theta$ integrato tra 0 e 2PI..
nel senso..
quello che faccio e' scrivere il campo in termini di $theta$ con:
$x=cos theta; y=sen theta$
pero' in quello che hai scritto non c'e' traccia di $sen theta$..
a naso capisco che la cosa funziona per la simmetria cilindrica del campo stesso, ma non capisco se la considerazione e' lecita

[alle.fabbri]

mettila così. Il libro ti sta dando delle coordinate cartesiane, poi siamo passati alle coordinate cilindriche canoniche, cioè quelle in cui $\theta = 0$ corrispondeva all'asse x delle coordinate cartesiane. Poi abbiamo spostato lo 0 degli angoli, chiamalo asse x', a coincidere con il campo, che ha direzione costante (1,1,0). Adesso valutiamo il flusso infinitesimo cioè $d\Phi = \vec F * \hat n dS$ nel sistema accentato. Siccome la circonferenza è rimasta uguale nel sistema accentato la normale alla stessa sarà il versore radiale che si scrive $(cos \theta, \sin \theta, 0)'$(l'accento dopo il vettore significa espresso nelle coordinate del sistema accentato), l'elemento di superficie vale $dS = dz d\theta$ e poi il campo è $e^(-z^2) (1,0,0)'$ quindi $d\Phi = e^(-z^2) cos \theta dz d\theta$.

Va da se che questo è solo per semplificare leggermente. In effetti rimanendo nel sistema non accentato avresti che
$ d\Phi = e^(-z^2) (1,1,0)*(cos \theta, \sin \theta, 0) dz d\theta = e^(-z^2) (cos \theta + \sin \theta) dz d\theta$
che comunque si annulla integrato sul periodo.

[mashiro1]

splendido.. non fa una grinza..