Gare tra infiniti e infinitesimi
Allora, so che gli esponenziali sono un infinito di ordine superiore ai monomiali, che i monomiali lo sono sui logaritmi e che quindi la funzione logaritmica è quella più lenta in assoluto. (e le trigonometriche?)
E per quanto riguarda gli infinitesimi?
Detto questo, vorrei capire meglio quando e come usare la gara tra infiniti e infinitesimi.
Esempio:
$lim_(x->+oo) 2ln (x^2 + 3x) -x$. Il libro dice che questo limite fa $-oo$. Questo perchè, perchè ha cancellato tutto ciò che era "attaccato" al logaritmo, ed ha considerato solo il monomio $-x$ ?
Anche se nell'argomento del logaritmo è presente una potenza, io so che una ferrari sopra una cinquecento è ugualmente molto lenta...
ma come e quando posso usarli questi espedienti? in tutti i limiti? E se un limite tende ad un numero finito?
grazie...
E per quanto riguarda gli infinitesimi?
Detto questo, vorrei capire meglio quando e come usare la gara tra infiniti e infinitesimi.
Esempio:
$lim_(x->+oo) 2ln (x^2 + 3x) -x$. Il libro dice che questo limite fa $-oo$. Questo perchè, perchè ha cancellato tutto ciò che era "attaccato" al logaritmo, ed ha considerato solo il monomio $-x$ ?
Anche se nell'argomento del logaritmo è presente una potenza, io so che una ferrari sopra una cinquecento è ugualmente molto lenta...
ma come e quando posso usarli questi espedienti? in tutti i limiti? E se un limite tende ad un numero finito?
grazie...
Risposte
Per capire come un infinitesimo prevale sull'altro, ovvero se un infinitesimo è di grado superiore o inferiore rispetto all'altro, studia il loro rapporto. Se hai:
$\lim_{x->x_0}f/g$
E sai che:
$\lim_{x->x_0}f$ $=$ $\lim_{x->x_0}g$ $=$ $0$
Allora sai che l'infinitesimo f è di grado superiore all'infinitesimo g.
Ciò tu può risultare utile nel calcolo di limiti, in cui puoi eliminare infinitesimi di grado superiore al numeratore e denominatore.
$\lim_{x->x_0}f/g$
E sai che:
$\lim_{x->x_0}f$ $=$ $\lim_{x->x_0}g$ $=$ $0$
Allora sai che l'infinitesimo f è di grado superiore all'infinitesimo g.
Ciò tu può risultare utile nel calcolo di limiti, in cui puoi eliminare infinitesimi di grado superiore al numeratore e denominatore.
eh, però nel mio caso, è stato considerato solo il -x? Sono giuste quelle affermazioni che ho fatto? Cioè, a occhio, difronte al limite di una funzione anche non fratta, cosa si può eliminare?
"Mr.Mazzarr":
Per capire come un infinitesimo prevale sull'altro, ovvero se un infinitesimo è di grado superiore o inferiore rispetto all'altro, studia il loro rapporto. Se hai:
$\lim_{x->x_0}f/g$
E sai che:
$\lim_{x->x_0}f$ $=$ $\lim_{x->x_0}g$ $=$ $0$
Allora sai che l'infinitesimo f è di grado superiore all'infinitesimo g.
Ciò tu può risultare utile nel calcolo di limiti, in cui puoi eliminare infinitesimi di grado superiore al numeratore e denominatore.
Questo è assolutamente sbagliato!
Esempio:
$lim_(x->0) f(x)/g(x)=1$
con
$f(x)=x$
$g(x)=x$
e con
$lim_(x->0)f(x)=lim_(x->0)g(x)=0...$
Se $f(x)$ fosse stata un infinitesimo di ordine superiore il limite avrebbe fatto $0$ !
"Brancaleone":
Questo è assolutamente sbagliato!
Esempio:
$lim_(x->0) f(x)/g(x)=1$
con
$f(x)=x$
$g(x)=x$
e con
$lim_(x->0)f(x)=lim_(x->0)g(x)=0...$
Se $f(x)$ fosse stata un infinitesimo di ordine superiore il limite avrebbe fatto $0$ !
Il rapporto tra i due infinitesimi da te scritti non è 0, quindi non è lo stesso caso che ho citato io.
Non ho capito cosa vuoi dire sinceramente.
Se intendi dire che in un rapporto tra infinitesimi il risultato è sempre 0 e quindi il numeratore è di grado superiore allora è ovvio che non è così, ma non l'ho nemmeno scritto. Tant'è vero che quando il rapporto in limite tra infinitesimi è $+oo$ è il denominatore ad avere il grado superiore.
Come non è lo stesso?
Cioè hai scritto che, poiché il singolo limite di $f$ è infinitesimo (di che ordine?) e poiché anche il singolo limite di $g$ è infinitesimo (anche qui, di che ordine?), allora il limite del loro rapporto è anch'esso un infinitesimo (cioè $0$), ma non è così, tant'è che è una forma indeterminata $0/0$.
"Mr.Mazzarr":
Se hai:
$\lim_{x->x_0}f/g$
E sai che:
$\lim_{x->x_0}f$ $=$ $\lim_{x->x_0}g$ $=$ $0$
Allora sai che l'infinitesimo f è di grado superiore all'infinitesimo g.
Cioè hai scritto che, poiché il singolo limite di $f$ è infinitesimo (di che ordine?) e poiché anche il singolo limite di $g$ è infinitesimo (anche qui, di che ordine?), allora il limite del loro rapporto è anch'esso un infinitesimo (cioè $0$), ma non è così, tant'è che è una forma indeterminata $0/0$.
Ah, ora ho capito a cosa ti riferisci.
No l'errore l'ho semplicemente commesso perchè mi sono dimenticato di scrivere $= 0$ nel rapporto.
Mea culpa, mi sono dimenticato!
No l'errore l'ho semplicemente commesso perchè mi sono dimenticato di scrivere $= 0$ nel rapporto.
Mea culpa, mi sono dimenticato!
Ah, messa così allora va bene
Comunque, tornando al problema originale di Baldur:
$lim_(x->+oo) 2ln (x^2 + 3x) -x=-oo$
Sì, il logaritmo tende a $+oo$ con ordine inferiore rispetto al $-oo$ cui tende invece $-x$, e quindi il limite fa $-oo$.
Comunque, tornando al problema originale di Baldur:
$lim_(x->+oo) 2ln (x^2 + 3x) -x=-oo$
Sì, il logaritmo tende a $+oo$ con ordine inferiore rispetto al $-oo$ cui tende invece $-x$, e quindi il limite fa $-oo$.
alternativamente, considerando che la parte principale del logaritmo coincide con il logaritmo della parte principale, hai che:
\begin{align*}
\lim_{x\to +\infty} 2\ln\left(x^2+3x\right)-x&\sim \lim_{x\to +\infty} 2\ln\left(x^2 \right)-x=\lim_{x\to +\infty} 4\ln |x|-x=\lim_{x\to +\infty} 4\ln x -x\\
&= 4 \lim_{x\to +\infty} \ln x -x= 4 \lim_{x\to +\infty} x\cdot\left(\frac{\ln x}{x} -1\right)\\
&=4\cdot(+\infty)(0-1)=-\infty
\end{align*}
\begin{align*}
\lim_{x\to +\infty} 2\ln\left(x^2+3x\right)-x&\sim \lim_{x\to +\infty} 2\ln\left(x^2 \right)-x=\lim_{x\to +\infty} 4\ln |x|-x=\lim_{x\to +\infty} 4\ln x -x\\
&= 4 \lim_{x\to +\infty} \ln x -x= 4 \lim_{x\to +\infty} x\cdot\left(\frac{\ln x}{x} -1\right)\\
&=4\cdot(+\infty)(0-1)=-\infty
\end{align*}
ma questo espediente, vale per ogni tipo di limite? e per quanto riguarda la trigonometria? dove si posiziona nella "classifica"?
E se tendesse ad un numero finito? Ad esempio, se quel limite che ho scritto, tendesse a $3-$, come si ragionerebbe? grazie
$lim_(x->3-) 2ln (x^2 + 3x) -x$
E se tendesse ad un numero finito? Ad esempio, se quel limite che ho scritto, tendesse a $3-$, come si ragionerebbe? grazie
$lim_(x->3-) 2ln (x^2 + 3x) -x$
allora, quella funzione è definita quando
\begin{align*}
x^2+3x>0\quad \Leftrightarrow\quad x<-3 \cup x>0\end{align*}
quindi quando fai il limite per $x\to3$ coinciderà con il valore della funzione nel punto in quanto è continua in $x=3$
\begin{align*} \lim_{x\to 3^-} 2\ln\left(x^2+3x\right)-x =2\ln18-3 \end{align*}
mentre, se fai il limite
\begin{align*} \lim_{x\to -3^-} 2\ln\left(x^2+3x\right)-x =-\infty\qquad \lim_{x\to -3^+} 2\ln\left(x^2+3x\right)-x =-\infty\end{align*}semplicemente perchè non sono presenti forme indeterminate.
\begin{align*}
x^2+3x>0\quad \Leftrightarrow\quad x<-3 \cup x>0\end{align*}
quindi quando fai il limite per $x\to3$ coinciderà con il valore della funzione nel punto in quanto è continua in $x=3$
\begin{align*} \lim_{x\to 3^-} 2\ln\left(x^2+3x\right)-x =2\ln18-3 \end{align*}
mentre, se fai il limite
\begin{align*} \lim_{x\to -3^-} 2\ln\left(x^2+3x\right)-x =-\infty\qquad \lim_{x\to -3^+} 2\ln\left(x^2+3x\right)-x =-\infty\end{align*}semplicemente perchè non sono presenti forme indeterminate.
Ho capito, quindi diciamo andare a scovare chi va "più forte" è possibile solo quando x tende ad infinito o a zero? Se tende ad un numero finito, bisogna semplicemente calcolarne il limite?
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