Gamma di eulero

[qwertyuio1]

Se $\Gamma(x)=\int_0^\infty t^(x-1) e^t dt$ è la funzione Gamma di Eulero, l'espressione
$(\Gamma(d/2+1/2))/(\Gamma(d/2))$ ,
dove $d\in\NN$, si riesce a scrivere in forma chiusa?

[Gi81]

Direi proprio di sì. Tieni presente tre cose:

[*:a5oteit9] per ogni $n$ naturale, $Gamma(n) = (n-1)!$[/*:m:a5oteit9]
[*:a5oteit9] $Gamma(1/2) = sqrtpi$[/*:m:a5oteit9]
[*:a5oteit9] per ogni $z$ reale si ha $Gamma(z)= (z-1)* Gamma(z-1)$[/*:m:a5oteit9][/list:u:a5oteit9]

[qwertyuio1]

Credo che la terza proprietà sia $\Gamma(z)=(z-1)*\Gamma(z-1)$ . Distinguendo i casi $d$ pari e dispari e lavorando un po', riesco a ottenere la scrittura seguente:
$(\Gamma(d/2+1/2))/(\Gamma(d/2))=((d-1)*(d-3)*...)/((d-2)*(d-4)*...)*(\sqrt(\pi))^(\pm 1)$
dove $\pm$ dipende se $d$ è pari o dispari.

[Gi81]

"qwertyuio":Credo che la terza proprietà sia $\Gamma(z)=(z-1)*\Gamma(z-1)$

Hai perfettamente ragione. Ora correggo.

Comunque non mi viene quella formula che viene a te.
Mi sono fatto un esempio semplice: $d=6$ (dunque pari)

Abbiamo $Gamma(d/2 +1/2) = Gamma(7/2)= 5/2 Gamma(5/2) = 5/2* 3/2 Gamma(3/2)= 5/2 *3/2 * 1/2 Gamma(1/2)= 5/2 * 3/2 *1/2 * sqrt( pi)$

Il ragionamento si può generalizzare:

se $d$ è pari si ha
$Gamma(d/2 +1/2)= (1/2)^(d/2) * (d-1)!! * sqrt(pi)$, e inoltre $Gamma(d/2)= (d/2 -1)!$
Dunque
\[
\frac{\Gamma \left( \frac{d}{2} + \frac{1}{2} \right) }{ \Gamma \left(\frac{d}{2} \right) }= \frac{ \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{d}{2} } \cdot \left( d-1 \right)!! \cdot \sqrt{\pi} }{ \left( \frac{d}{2} -1 \right)!}
\]

n.b.: $x!!$ è il semifattoriale di $x$

Poi il caso di $d$ dispari si tratta più o meno in modo analogo al caso di $d$ pari. Dovrebbe venire:

Se $d$ è dispari:\[
\frac{\Gamma \left( \frac{d}{2} + \frac{1}{2} \right) }{ \Gamma \left(\frac{d}{2} \right) }= \frac{ \left( \frac{d-1}{2} \right)! }{\left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{d-1}{2} } \cdot \left( d-2 \right)!! \cdot \sqrt{\pi} }
\]

[gugo82]

Se ti accontenti, c'è anche la formula di duplicazione:
\[
\Gamma \left(z +\frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z}\ \sqrt{\pi}\ \frac{\Gamma (2z)}{\Gamma (z)}
\]
dalla quale, per \(z=d/2\), ricavi:
\[
\Gamma \left( \frac{d}{2} +\frac{1}{2}\right) = 2^{1-d}\ \sqrt{\pi}\ \frac{\Gamma (d)}{\Gamma \left( \frac{d}{2}\right)} = \frac{2^{1-d}\ \sqrt{\pi}\ (d-1)!}{\Gamma \left( \frac{d}{2}\right)}\; .
\]