$G_\delta$ densi e Teorema di Baire

[Plepp]

Buonasera ragazzi.
Nella dimostrazione che segue, non riesco a capire quale sia il ruolo dell'ipotesi "$X$ non ha punti isolati".

Che $W_n$ è un denso aperto mi pare che non dipenda da questa ipotesi. Infatti: un sottoinsieme finito di uno spazio metrico è chiuso, quindi $W_n$ è aperto; inoltre
\[\overline{W_n}=\overline{V_n\cap\left(X\setminus \bigcup_k^n \{x_k\}\right)}\subseteq \overline{V_n}\cap \overline{\left(X\setminus\bigcup_k^n \{x_k\}\right)}=\overline{\left(X\setminus\bigcup_k^n \{x_k\}\right)}=X\setminus \text{int}\left(\bigcup_k^n \{x_k\}\right)=X\]
Non mi pare nemmeno che serva per avere $\bigcap W_n=\emptyset$, dato che
\[\bigcap_n W_n=\bigcap_n \left(V_n\setminus \bigcup_k^n \{x_k\}\right)\subseteq\bigcap_n \left(V_n\setminus \{x_n\}\right)=\bigcap_n V_n \cap \bigcap_n \left( X\setminus\{x_n\} \right)=\\
=E\cap X\setminus \left(\bigcup_n \{x_n\}\right)=E\cap X\setminus E=\varnothing\]
Dove sbaglio?

[Rigel1]

Direi che si perde la densità di \(W_n\).
Se infatti c'è un punto isolato \(x\), esso deve necessariamente essere uno degli \(x_k\), diciamo \(x_0\).
Ma un intorno di \(x_0\), di raggio sufficientemente piccolo, contiene solo \(x_0\).

[Plepp]

ero convinto di aver scritto una catena di uguaglianze qui:

"Plepp":
\[ \overline{W_n}=\overline{V_n\cap\left(X\setminus \bigcup_k^n \{x_k\}\right)}\subseteq \overline{V_n}\cap \overline{\left(X\setminus\bigcup_k^n \{x_k\}\right)}=\overline{\left(X\setminus\bigcup_k^n \{x_k\}\right)}=X\setminus \text{int}\left(\bigcup_k^n \{x_k\}\right)=X \]

Vabbé

Grazie Rigel