$f(x,y)=x^4-y^4+(15)/4x^2y^2-4x^2+y^2+11$

[mikelozzo]

ciao a tutti..

oggi ho cominciato a provare qualche esercizio del compito di analisi 2 del mio attuale prof..
l'esercizio propone la funzione sopra citata (vale a dire $f(x,y)=x^4-y^4+(15)/4x^2y^2-4x^2+y^2+11$) e richiede i seguenti punti:

1) trovare i punti critici di f
2) classificare i punti critici di f
3) trovare lo sviluppo di Taylor al I ordine di f in (1,2)
4) determinare l'equazione del piano tangente T al grafico di f nel punto di coordinate (1,2)
5) determinare l'equazione dello spazio tangente V al grafico di f nel punto di coordinate (1,2)
6) scrivere il differenziale di f nel punto di coordinate (1,2)

[e questo è solo il primo esercizio di 5 ]

il problema è che (con mia grande demoralizzazione) non riesco a fare neppure il primo punto del primo esercizio!

Per la ricerca dei punti critici a me verrebbe spontaneo calcolare le derivate prime parziali rispetto a x e y e porre le stesse = 0 in un sistema di equazioni..ovvero:

$(df)/(dx)= 4x^3+(15)/4(2)xy^2-8x=2x(2x^2+(15)/4y^2-4)$

$(df)/(dy)= -4y^3+(15)/4(2)yx^2+2y=2y(-2y^2+(15)/4x^2+1)$

per cui:

$\{(2x(2x^2+(15)/4y^2-4)=0),(2y(-2y^2+(15)/4x^2+1)=0):}$

che è un sistema di 9° grado in due variabili e due equazioni come faccio a risolverlo? non mi è mai capitato prima un simile sistema.

le soluzioni dovrebbero essere queste: (ma non ho la minima idea di come procedere.. tutti i metodi che ho utilizzato sono risultati vani il che mi fa pensare che ci sia un metodo specifico che il mio libro di teoria-esercizi non riporta)




vi ringrazio in anticipo come sempre per l'attenzione e la disponibilità

ciao ciao
Michele

[mikelozzo]

credo di aver risolto... a breve pubblico il procedimento che ho utilizzato, nella speranza che sia giusto e che possa servire a qualcun altro....

[j18eos]

Comunque ti dico che essendo le equazioni dei prodotti di polinomi si applica il principio dell'annullamento del prodotto!

[mikelozzo]

ciao ragazzi..
mi scuso se non ho più risposto per il procedimento (in mancanza di rete internet)..
lo faccio ora, cosi se può servire a qualcuno ha il procedimento che ho utilizzato io e che pare funzioni
poi vorrei approfittare per chiedere una cosa in merito al punto 5) dell'esercizio.... ma un passo alla volta eheheh

vi avviso che è un po lunghetto per cui controllate che non abbia fatto errori nella battitura:
ho iniziato in maniera leggermente differente ma il succo è quello:

$(df)/(dx)= 4x^3+(15)/4(2)xy^2-8x=16x^3+30xy^2-32x$

$(df)/(dy)= -4y^3+(15)/4(2)yx^2+2y=-16y^3+30yx^2+8y$

per cui:

$\{(16x^3+30xy^2-32x=0),(-16y^3+30yx^2+8y=0):}$

$\{(8x^3+15xy^2-16x=0),(-8y^3+15yx^2+4y=0):}$

$\{(x(8x^2+15y^2-16)=0),(y(-8y^2+15x^2+4)=0):}$

che possiamo scrivere come:

$\{(x=0),(y=0):}$ U $\{(8x^2+15y^2-16=0),(y=0):}$ U $\{(-8y^2+15x^2+4=0),(x=0):}$ U $\{(8x^2+15y^2-16=0),(-8y^2+15x^2+4=0):}$

$\{(x=0),(y=0):}$ U $\{(8x^2-16=0),(y=0):}$ U $\{(-8y^2+4=0),(x=0):}$ U $\{(8x^2+15y^2-16=0),(-8y^2+15x^2+4=0):}$

$\{(x=0),(y=0):}$ U $\{(x^2=2),(y=0):}$ U $\{(y^2=(1/2)),(x=0):}$ U $\{(8x^2+15y^2-16=0),(-8y^2+15x^2+4=0):}$

$\{(x=0),(y=0):}$ U $\{(x=+-sqrt(2)),(y=0):}$ U $\{(y=+-(1/sqrt(2))),(x=0):}$ U $\{(8x^2+15y^2-16=0),(-8y^2+15x^2+4=0):}$*

da cui *$\{(8x^2+15y^2-16=0),(-8y^2+15x^2+4=0):}$ = $\{(x^2= (16-15y^2)/8),(-8y^2+15(16-15y^2)/8+4=0):}$

da cui dopo un po di calcoli andando ad isolare la $y$ si ottiene: $\{(...),(y^2=(16)/(17)):}$ ----> $\{(...),(y=+-(4)/sqrt(17)):}$

e le $x$ di conseguenza... per cui si hanno appunto 9 punti critici (per la precisione attraverso lo studio, 2 di MINrel, 2 di MAXrel e gli altri di SELLA)

fatto ciò...passerei alla mia nuova domanda:
dato che non riesco a trovarla ne sulla mia teoria, ne in internet, qualcuno di buon cuore potrebbe postarmi la formula per il calcolo dell'equazione dello spazio tangente V al grafico di f in un punto $(x_0,y_0)$

per i punti 3) e 4) ho trovato infatti (scusate se le ho scritte a mano con paint xD):



grazie a tutti per l'attenzione