F(x,y)Massimi e Minimi relativi e assoluti. Derivabilità.
Salve a tutti, sono nuovo e ho un terribile dubbio su due cose.
La prima è la seguente nel Marcellini Sbordone c'è scritto che fare il limite del rapporto incrementale tenendo una variabile costante è uguale a fare il limite della derivata sempre con una variabile costante volevo soltanto una conferma visto che in certi siti sembra quasi un errore. è giusto???
Il mio secondo dubbio riguarda un'esercizio il seguente:
Determinare se esistono i punti di massimo e minimo relativi ed assoluti della seguente funzione sul dominio a fianco indicato.
$f(x,y)=y(4x^2-y^2) D=[0,1]x[0,2]$
Io vorrei un esempio di soluzione per farmi un'idea, se aveste già risposto a una domanda simile e avete scritto tutto lo svolgimento spiegandolo passo per passo potete anche semplicemente passarmi il link (come simile intendo questo: f(x,y)=.......... D=[..,..]x[..,..] ).
Vi ringrazio in anticipo.
Spero in una vostra risposta al più presto.
La prima è la seguente nel Marcellini Sbordone c'è scritto che fare il limite del rapporto incrementale tenendo una variabile costante è uguale a fare il limite della derivata sempre con una variabile costante volevo soltanto una conferma visto che in certi siti sembra quasi un errore. è giusto???
Il mio secondo dubbio riguarda un'esercizio il seguente:
Determinare se esistono i punti di massimo e minimo relativi ed assoluti della seguente funzione sul dominio a fianco indicato.
$f(x,y)=y(4x^2-y^2) D=[0,1]x[0,2]$
Io vorrei un esempio di soluzione per farmi un'idea, se aveste già risposto a una domanda simile e avete scritto tutto lo svolgimento spiegandolo passo per passo potete anche semplicemente passarmi il link (come simile intendo questo: f(x,y)=.......... D=[..,..]x[..,..] ).
Vi ringrazio in anticipo.
Spero in una vostra risposta al più presto.
Risposte
Il primo dubbio mi sembra un pò confuso come concetto... cmq se lo dimostra sarà giusto, a che pagina lo dice che controllo?
Il secondo è un esercizio del tutto standard, prima devi vedere in genarale se il dominio è un compatto, se si come nel tuo caso dato che $D$ è un dominio CHIUSO E LIMITATO puoi dire che esistono sia il massimo che il minimo.
Se ti chiede di trovarli la tecnica anche è standard.
Prima cosa ti trovi i punti stazionari che sono quei punti che annullano il sistema $f_x$ e $f_y$ cioè le derivate parziali rispetto a $x$ e $y$ poi trovati i punti stazionari ti calcoli l'hessiano cioè la matrice simmetrica che ha come elementi sulla diagonale principale le derivate seconde parziali rispetto $x$ e $y$, cioè $Hess_(x_0,y_0)f=(( f_(x x) , f_(x y) ), (f_(x y) , f_(y y) ) )$
Studiando gli autovalori hai finito.
Il secondo è un esercizio del tutto standard, prima devi vedere in genarale se il dominio è un compatto, se si come nel tuo caso dato che $D$ è un dominio CHIUSO E LIMITATO puoi dire che esistono sia il massimo che il minimo.
Se ti chiede di trovarli la tecnica anche è standard.
Prima cosa ti trovi i punti stazionari che sono quei punti che annullano il sistema $f_x$ e $f_y$ cioè le derivate parziali rispetto a $x$ e $y$ poi trovati i punti stazionari ti calcoli l'hessiano cioè la matrice simmetrica che ha come elementi sulla diagonale principale le derivate seconde parziali rispetto $x$ e $y$, cioè $Hess_(x_0,y_0)f=(( f_(x x) , f_(x y) ), (f_(x y) , f_(y y) ) )$
Studiando gli autovalori hai finito.
Elementi di Analisi Matematica due di Nicola Fusco-Paolo Marcellini- Carlo Sbordone pag.49.
Ho visto il tuo procedimento ed è quello per trovare i massimi e minimi relativi ma per gli assoluti???? e con questi valori cosa ci fai $D=[0,1]x[0,2]$???
Ho visto il tuo procedimento ed è quello per trovare i massimi e minimi relativi ma per gli assoluti???? e con questi valori cosa ci fai $D=[0,1]x[0,2]$???
Basta che confronti i valori e vedi quale è il massimo e quale è il minimo, quelli saranno i massimi e minimi assoluti in $D$
Sareste cosi gentili da farmi vedere lo svolgimento completo????
Perchè sono tutti uguali soltanto che vorrei averne uno di riferimento.
Perchè sono tutti uguali soltanto che vorrei averne uno di riferimento.
"Zaion89":
nel Marcellini Sbordone c'è scritto che fare il limite del rapporto incrementale tenendo una variabile costante è uguale a fare il limite della derivata sempre con una variabile costante
Questo è vero solamente se sai a priori che la funzione è di classe \(C^1\) (ovvero è derivabile con la derivata continua) in un intorno del punto assegnato. Senno può anche succedere che il limite della derivata non esista ma il limite del rapporto incrementale si. Sono situazioni patologiche ma esistono.
"dissonance":
[quote="Zaion89"]nel Marcellini Sbordone c'è scritto che fare il limite del rapporto incrementale tenendo una variabile costante è uguale a fare il limite della derivata sempre con una variabile costante
Questo è vero solamente se sai a priori che la funzione è di classe \(C^1\) (ovvero è derivabile con la derivata continua) in un intorno del punto assegnato. Senno può anche succedere che il limite della derivata non esista ma il limite del rapporto incrementale si. Sono situazioni patologiche ma esistono.[/quote]
Grazie mille
Per favore qualcuno che mi completi questo esercizio????
$f(x,y)=y(4x^2-y^2) D=[0,1]x[0,2]$
Sono fermo qui da un pò quelli relativi li so fare ma non so fare gli assoluti e mi confonde questo $D=[0,1]x[0,2]$
$f(x,y)=y(4x^2-y^2) D=[0,1]x[0,2]$
Sono fermo qui da un pò quelli relativi li so fare ma non so fare gli assoluti e mi confonde questo $D=[0,1]x[0,2]$
Allora, per trovare i punti di massimo e di minimo assoluto (se esistono) devi studiare i punti critici (o stazionari) della funzione, ovvero i punti dove il gradiente si annulla.
Nel tuo caso
$f[x,y]:=y(4x^2-y^2)$
e quindi
$nabla f[x,y]=(8xy,4x^2-3y^2)$,
per cui i punti critici sono i punti le cui coordinate risolvono il sistema
${(8xy=0),(4x^2-3y^2=0):};$
troviamo quindi come unico punto critico l'origine $(0,0)$. Calcoliamo quindi la matrice hessiana
$H_{f}[x,y]=((8y,8x),(8x,-6y))$
che nel punto $(0,0)$ è la matrice nulla; quindi lo studio dell'hessiana non ci dà nessuna informazione e dobbiamo fare considerazioni di altro tipo per valutare la natura del punto $(0,0)$. Ad esempio se consideriamo la retta $y=0$ su di essa la funzione è costante ($f[0,y]=0$ per ogni y) mentre se consideriamo la retta $x=y$, parametrizzata come ${[t,t]:t in bbbR}$, abbiamo che $f[t,t]=3t^3$ che è positiva per $t>0$ e negativa per $t<0$; questi ragionamenti dovrebbero bastare per concludere che $(0,0)$ è un punto di sella (MA NON NE SONO PIENAMENTE CONVINTO QUINDI TI CONSIGLIO DI AVERE CONFERMA DA ALTRI UTENTI DEL FORUM).
Ora passiamo allo studio dei massimi e minimi della funzione sul vincolo. $D:=[0,1]x[0,2]$ è praticamente il rettangolo "pieno" avente per base l'intervallo chiuso $[0,1]$ e per altezza l'intervallo chiuso $[0,2]$, ovvero il rettangolo "pieno" avente per vertici i punti $(0,0)$,$(1,0)$,$(0,2)$ e $(1,2)$; per quanto riguarda i punti interni al rettangolo abbiamo visto che nessun punto è critico, quindi studiamo solo la frontiera di D.
Sia $b_1$ la base di estremi $(0,0)$ e $(1,0)$, $h_1$ l'altezza di estremi $(0,0)$ e $(0,2)$, $b_2$ e $h_2$ l'altra base e l'altra altezza.
Parametrizzando abbiamo che $b_1={(t,0):t in (0,1]}$ per cui su $b_1$ la funzione diventa $f[t,0]=0$ per ogni t.
Per $h_1$ abbiamo che $h_1={(0,t):t in (0,2]}$ per cui la funzione diventa $f[0,t]=-t^3$; ora studiamo questa funzione in una variabile e abbiamo che 0 è punto di massimo e 2 è punto di minimo ($min_h_1 f [x,y]=f[0,2]=-8$ e $max_h_1 f[x,y]=f[0,0]=0$).
Analogamente parametrizzi $h_2$ e $b_2$, trovi la restrizione della funzione su di essi e ti riconduci ad un problema di massimo e minimo in una variabile; alla fine, quando hai tutti i punti di massimo e di minimo confronti il valore della funzione in tali punti e trovi il massimo ed il minimo assoluto della funzione sul vincolo.
Nel tuo caso
$f[x,y]:=y(4x^2-y^2)$
e quindi
$nabla f[x,y]=(8xy,4x^2-3y^2)$,
per cui i punti critici sono i punti le cui coordinate risolvono il sistema
${(8xy=0),(4x^2-3y^2=0):};$
troviamo quindi come unico punto critico l'origine $(0,0)$. Calcoliamo quindi la matrice hessiana
$H_{f}[x,y]=((8y,8x),(8x,-6y))$
che nel punto $(0,0)$ è la matrice nulla; quindi lo studio dell'hessiana non ci dà nessuna informazione e dobbiamo fare considerazioni di altro tipo per valutare la natura del punto $(0,0)$. Ad esempio se consideriamo la retta $y=0$ su di essa la funzione è costante ($f[0,y]=0$ per ogni y) mentre se consideriamo la retta $x=y$, parametrizzata come ${[t,t]:t in bbbR}$, abbiamo che $f[t,t]=3t^3$ che è positiva per $t>0$ e negativa per $t<0$; questi ragionamenti dovrebbero bastare per concludere che $(0,0)$ è un punto di sella (MA NON NE SONO PIENAMENTE CONVINTO QUINDI TI CONSIGLIO DI AVERE CONFERMA DA ALTRI UTENTI DEL FORUM).
Ora passiamo allo studio dei massimi e minimi della funzione sul vincolo. $D:=[0,1]x[0,2]$ è praticamente il rettangolo "pieno" avente per base l'intervallo chiuso $[0,1]$ e per altezza l'intervallo chiuso $[0,2]$, ovvero il rettangolo "pieno" avente per vertici i punti $(0,0)$,$(1,0)$,$(0,2)$ e $(1,2)$; per quanto riguarda i punti interni al rettangolo abbiamo visto che nessun punto è critico, quindi studiamo solo la frontiera di D.
Sia $b_1$ la base di estremi $(0,0)$ e $(1,0)$, $h_1$ l'altezza di estremi $(0,0)$ e $(0,2)$, $b_2$ e $h_2$ l'altra base e l'altra altezza.
Parametrizzando abbiamo che $b_1={(t,0):t in (0,1]}$ per cui su $b_1$ la funzione diventa $f[t,0]=0$ per ogni t.
Per $h_1$ abbiamo che $h_1={(0,t):t in (0,2]}$ per cui la funzione diventa $f[0,t]=-t^3$; ora studiamo questa funzione in una variabile e abbiamo che 0 è punto di massimo e 2 è punto di minimo ($min_h_1 f [x,y]=f[0,2]=-8$ e $max_h_1 f[x,y]=f[0,0]=0$).
Analogamente parametrizzi $h_2$ e $b_2$, trovi la restrizione della funzione su di essi e ti riconduci ad un problema di massimo e minimo in una variabile; alla fine, quando hai tutti i punti di massimo e di minimo confronti il valore della funzione in tali punti e trovi il massimo ed il minimo assoluto della funzione sul vincolo.
Io una volta trovato i punti che nel nostro caso sono i vertici del rettangolo, li centro nella funzione e vedo quelli che hanno quota maggiore e quaali quota minore il più piccolo è un minimo assoluto il più grande un massimo assoluto. Fine.
"marco.bre":
Allora, per trovare i punti di massimo e di minimo assoluto (se esistono) devi studiare i punti critici (o stazionari) della funzione, ovvero i punti dove il gradiente si annulla.
Nel tuo caso
$f[x,y]:=y(4x^2-y^2)$
e quindi
$nabla f[x,y]=(8xy,4x^2-3y^2)$,
per cui i punti critici sono i punti le cui coordinate risolvono il sistema
${(8xy=0),(4x^2-3y^2=0):};$
troviamo quindi come unico punto critico l'origine $(0,0)$. Calcoliamo quindi la matrice hessiana
$H_{f}[x,y]=((8y,8x),(8x,-6y))$
che nel punto $(0,0)$ è la matrice nulla; quindi lo studio dell'hessiana non ci dà nessuna informazione e dobbiamo fare considerazioni di altro tipo per valutare la natura del punto $(0,0)$. Ad esempio se consideriamo la retta $y=0$ su di essa la funzione è costante ($f[0,y]=0$ per ogni y) mentre se consideriamo la retta $x=y$, parametrizzata come ${[t,t]:t in bbbR}$, abbiamo che $f[t,t]=3t^3$ che è positiva per $t>0$ e negativa per $t<0$; questi ragionamenti dovrebbero bastare per concludere che $(0,0)$ è un punto di sella (MA NON NE SONO PIENAMENTE CONVINTO QUINDI TI CONSIGLIO DI AVERE CONFERMA DA ALTRI UTENTI DEL FORUM).
Ora passiamo allo studio dei massimi e minimi della funzione sul vincolo. $D:=[0,1]x[0,2]$ è praticamente il rettangolo "pieno" avente per base l'intervallo chiuso $[0,1]$ e per altezza l'intervallo chiuso $[0,2]$, ovvero il rettangolo "pieno" avente per vertici i punti $(0,0)$,$(1,0)$,$(0,2)$ e $(1,2)$; per quanto riguarda i punti interni al rettangolo abbiamo visto che nessun punto è critico, quindi studiamo solo la frontiera di D.
Sia $b_1$ la base di estremi $(0,0)$ e $(1,0)$, $h_1$ l'altezza di estremi $(0,0)$ e $(0,2)$, $b_2$ e $h_2$ l'altra base e l'altra altezza.
Parametrizzando abbiamo che $b_1={(t,0):t in (0,1]}$ per cui su $b_1$ la funzione diventa $f[t,0]=0$ per ogni t.
Per $h_1$ abbiamo che $h_1={(0,t):t in (0,2]}$ per cui la funzione diventa $f[0,t]=-t^3$; ora studiamo questa funzione in una variabile e abbiamo che 0 è punto di massimo e 2 è punto di minimo ($min_h_1 f [x,y]=f[0,2]=-8$ e $max_h_1 f[x,y]=f[0,0]=0$).
Analogamente parametrizzi $h_2$ e $b_2$, trovi la restrizione della funzione su di essi e ti riconduci ad un problema di massimo e minimo in una variabile; alla fine, quando hai tutti i punti di massimo e di minimo confronti il valore della funzione in tali punti e trovi il massimo ed il minimo assoluto della funzione sul vincolo.
Grazie mille chiarissimo.
"squalllionheart":
Io una volta trovato i punti che nel nostro caso sono i vertici del rettangolo, li centro nella funzione e vedo quelli che hanno quota maggiore e quaali quota minore il più piccolo è un minimo assoluto il più grande un massimo assoluto. Fine.
Non potresti farmelo vedere applicandolo????
"squalllionheart":
Io una volta trovato i punti che nel nostro caso sono i vertici del rettangolo, li centro nella funzione e vedo quelli che hanno quota maggiore e quaali quota minore il più piccolo è un minimo assoluto il più grande un massimo assoluto. Fine.
Scusa, ma cosa intendi per centrare un punto in una funzione? Comunque, se non mi sbaglio, il discorso che fai tu funziona solo quando la funzione obiettivo è monotona sui lati del rettangolo, come in questo caso. In generale potresti avere un massimo o un minimo lungo uno dei lati e per questo devi parametrizzarlo; trovi la restrizione della funzione al lato così ti riduci al caso di una variabile e poi procedi come al solito, studiando il segno della derivata prima.
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