$f(x)=o(x)$ per $x to 0$ implica $f(x)$ derivabile in $0$?
Buonasera a tutti.
Come da titolo:
"Sia f(x) una funzione da $RR$ in $RR$ continua in ogni punto di $RR$. Sia inoltre: $f(x)=o(x)$ per $x to 0$. E' sufficiente ciò per concludere che la funzione è derivabile in $0$?"
Mi rendo conto che non è difficile come quesito, tuttavia ho qualche dubbio.
Anzitutto è vero? All'inizio ne dubitavo (anche perchè è un quesito che mi sono, come dire, auto-posto
), poi però non sono riuscito a trovare controesempi (anzi ho trovato esempi) e mi sono insospettito: che sia vero?
Io ho $lim_(x to 0) f(x)/x=0$ e $f$ continua. Riesco a concludere che $lim_(x to 0) (f(x)-f(0))/x$ esiste finito? Il problema è che non so, ovviamente, quanto vale $f(0)$, so solo che è un numero finito.
Avevo pensato di ragionare così, anche se ho paura di aver fatto qualche scemenza grossa: $lim_(x to 0) (f(x)-f(0))/(x)=lim_(x to 0) (f(x)(1-f(0)/f(x)))/x$. Adesso, il limite viene sempre $0$ per via dell'ipotesi con l'$o$-piccolo. Non c'è rischio di forme indeterminate perchè:
i) se $f(0)=0$ il $lim_(x to 0) (f(x)(1-f(0)/f(x)))/x=lim_(x to 0) f(x)/x=0$
ii) se $f(0) ne 0$, allora la continuità di $f$ mi dice che $lim_(x to 0) f(0)/f(x)=1$ e quindi $lim_(x to 0) (f(x)(1-f(0)/f(x)))/x=0$ ancora.
Ma c'è qualcosa che mi insospettisce, che non mi piace, anche perchè ho dimostrato di più di quello che mi ero prefissato: per davvero la derivata delle funzioni che soddisfano le ipotesi in $0$ è sempre $0$?
Ho fatto qualche esempio ($x^k$ con $k>1$) e viene tutto; mi insospettisce però $sinx$ che soddisfa le ipotesi ma non ha derivata nulla in $0$. Che ho combinato?
Perdonate se ho compiuto errori grossolani, sono qui per chiedere conferma e, ancora una volta, per imparare.
Grazie mille.
Come da titolo:
"Sia f(x) una funzione da $RR$ in $RR$ continua in ogni punto di $RR$. Sia inoltre: $f(x)=o(x)$ per $x to 0$. E' sufficiente ciò per concludere che la funzione è derivabile in $0$?"
Mi rendo conto che non è difficile come quesito, tuttavia ho qualche dubbio.
Anzitutto è vero? All'inizio ne dubitavo (anche perchè è un quesito che mi sono, come dire, auto-posto
), poi però non sono riuscito a trovare controesempi (anzi ho trovato esempi) e mi sono insospettito: che sia vero?Io ho $lim_(x to 0) f(x)/x=0$ e $f$ continua. Riesco a concludere che $lim_(x to 0) (f(x)-f(0))/x$ esiste finito? Il problema è che non so, ovviamente, quanto vale $f(0)$, so solo che è un numero finito.
Avevo pensato di ragionare così, anche se ho paura di aver fatto qualche scemenza grossa: $lim_(x to 0) (f(x)-f(0))/(x)=lim_(x to 0) (f(x)(1-f(0)/f(x)))/x$. Adesso, il limite viene sempre $0$ per via dell'ipotesi con l'$o$-piccolo. Non c'è rischio di forme indeterminate perchè:
i) se $f(0)=0$ il $lim_(x to 0) (f(x)(1-f(0)/f(x)))/x=lim_(x to 0) f(x)/x=0$
ii) se $f(0) ne 0$, allora la continuità di $f$ mi dice che $lim_(x to 0) f(0)/f(x)=1$ e quindi $lim_(x to 0) (f(x)(1-f(0)/f(x)))/x=0$ ancora.
Ma c'è qualcosa che mi insospettisce, che non mi piace, anche perchè ho dimostrato di più di quello che mi ero prefissato: per davvero la derivata delle funzioni che soddisfano le ipotesi in $0$ è sempre $0$?
Ho fatto qualche esempio ($x^k$ con $k>1$) e viene tutto; mi insospettisce però $sinx$ che soddisfa le ipotesi ma non ha derivata nulla in $0$. Che ho combinato?
Perdonate se ho compiuto errori grossolani, sono qui per chiedere conferma e, ancora una volta, per imparare.
Grazie mille.
Risposte
Ma certo che è vero. L'implicazione $f(x)=o(x) \Rightarrow lim_{x\to0}f(x)=0$ (e quindi, per continuità, $f(0)=0$) sussiste senza troppi problemi osservando che in un intorno bucato di $0$:
$f(x)=x/x f(x)= x*(f(x))/x= x * o(1) \to 0$.
Inoltre la derivata è nulla, il che non è troppo strano se pensi che le ipotesi sulla $f$ si possono riformulare come:
$f$ è una funzione continua avente in $0$ uno zero di ordine superiore al primo.
Quindi lo zero è un punto a tangente orizzontale per il grafico di $f$.
P.S: $sin x$ non verifica le ipotesi. Almeno, io per $f(x)=o(x)$ intendo che $(f(x))/x \to 0$ e $sinx/x \to 1$.
$f(x)=x/x f(x)= x*(f(x))/x= x * o(1) \to 0$.
Inoltre la derivata è nulla, il che non è troppo strano se pensi che le ipotesi sulla $f$ si possono riformulare come:
$f$ è una funzione continua avente in $0$ uno zero di ordine superiore al primo.
Quindi lo zero è un punto a tangente orizzontale per il grafico di $f$.
P.S: $sin x$ non verifica le ipotesi. Almeno, io per $f(x)=o(x)$ intendo che $(f(x))/x \to 0$ e $sinx/x \to 1$.
Carissimo,
ti ringrazio molto per la risposta. Che piacere sapere che Dissonance la pensa come me
. Quindi, in poche parole, mi stai dicendo che mi sono fatto una domanda e... mi sono dato la risposta giusta?!? Evvai!
Ti ringrazio, davvero. Sono contento che la dim fosse corretta e che il quesito che mi sono auto-posto fosse perlomeno "sensato".
Grazie ancora.
P.S. Ovvio, il seno non va bene. Mi sono distratto e mi sono dimenticato che $sinx=x+o(x)$ in un intorno bucato di $0$. Scusami, ora tutto torna.
Grazie ancora.
ti ringrazio molto per la risposta. Che piacere sapere che Dissonance la pensa come me
. Quindi, in poche parole, mi stai dicendo che mi sono fatto una domanda e... mi sono dato la risposta giusta?!? Evvai! Ti ringrazio, davvero. Sono contento che la dim fosse corretta e che il quesito che mi sono auto-posto fosse perlomeno "sensato".
Grazie ancora.
P.S. Ovvio, il seno non va bene. Mi sono distratto e mi sono dimenticato che $sinx=x+o(x)$ in un intorno bucato di $0$. Scusami, ora tutto torna.
Grazie ancora.
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