\(|f(x)|\leq\varphi(x)\) e \(\varphi\) integrabile $=>$ $f$ integrabile (Lebesgue)
Ciao, amici! Leggo sul Kolmogorov-Fomin (osservazione a p. 302 riferita alla proprietà VII di p. 292) che la seguente proprietà delle funzioni, a valori reali (per entrambe) o complessi (per $f$), \(\varphi\) e \(f\) definite in uno spazio $X$ di misura, dimostrata nel libro solamente per \(\mu(X)<\infty\), è valida anche se \(X=\bigcup_n X_n\) non è di misura finita, ma è unione di una quantità numerabile di insiemi $X_n$ (che credo si possano supporre tali che $X_1\subset X_2\subset ...$):
Data la definizione di integrale di Lebesgue \(\int_X g(x)d\mu:=\lim_n \int_{X_n}g(x)d\mu\) su $X$, so, dalla proprietà di sopra per $X_n$ tale che \(\mu(X_n)<\infty\), che se \(\int_{X_n}\varphi(x)d\mu\) esiste allora anche \(\int_{X_n}f(x)d\mu\) esiste, ma come vedere che, se il limite \(\lim_n \int_{X_n}\varphi(x)d\mu\) esiste allora esiste anche \(\lim_n \int_{X_n}f(x)d\mu\)?
Grazie di cuore a tutti!
se \(\varphi\) è integrabile secondo Lebesgue su $X$ e \(\forall x\in X\quad|f(x)|\leq\varphi(x)\) allora anche $f$ lo è.
Data la definizione di integrale di Lebesgue \(\int_X g(x)d\mu:=\lim_n \int_{X_n}g(x)d\mu\) su $X$, so, dalla proprietà di sopra per $X_n$ tale che \(\mu(X_n)<\infty\), che se \(\int_{X_n}\varphi(x)d\mu\) esiste allora anche \(\int_{X_n}f(x)d\mu\) esiste, ma come vedere che, se il limite \(\lim_n \int_{X_n}\varphi(x)d\mu\) esiste allora esiste anche \(\lim_n \int_{X_n}f(x)d\mu\)?
Grazie di cuore a tutti!
Risposte
Davide, scusa l'OT "impertinente" ma perché continui a farti del male con questo Kolmogorov-Fomin? E' certamente un libro famoso e ben noto ma questo non implica necessariamente che sia quello che fa al caso tuo (vuoi per la Matematica vera e propria, vuoi anche per la traduzione non delle più felici, a quanto capisco - devi anche fare filologia russa per studiarlo!).
Insomma, vedo che ti stai dando alla Teoria della misura e dell'integrazione; perché non provi qualche altro approccio? Tipo il Lieb-Loss? O i primi capitoli del Rudin, Real and complex Analysis? O Amann-Escher? O Halmos? O il Benedetto-Czaja? Sono testi "classici" anche questi - e sono stati citati approssimativamente in ordine crescente di difficoltà, secondo me. Io proverei il Lieb-Loss, magari non lo troverai super-formale ma almeno riesci a cogliere le idee giuste e profonde che stanno dietro questa teoria. E mi raccomando, non dimenticare di dedicarti agli esercizi, qui più che mai fondamentali!
Mi scuso ancora per l'intromissione e il consiglio non richiesto, spero non ti offenda (sentiti comunque liberissimo di procedere come preferisci). Buono studio!
Insomma, vedo che ti stai dando alla Teoria della misura e dell'integrazione; perché non provi qualche altro approccio? Tipo il Lieb-Loss? O i primi capitoli del Rudin, Real and complex Analysis? O Amann-Escher? O Halmos? O il Benedetto-Czaja? Sono testi "classici" anche questi - e sono stati citati approssimativamente in ordine crescente di difficoltà, secondo me. Io proverei il Lieb-Loss, magari non lo troverai super-formale ma almeno riesci a cogliere le idee giuste e profonde che stanno dietro questa teoria. E mi raccomando, non dimenticare di dedicarti agli esercizi, qui più che mai fondamentali!
Mi scuso ancora per l'intromissione e il consiglio non richiesto, spero non ti offenda (sentiti comunque liberissimo di procedere come preferisci). Buono studio!
[ot]La teoria della misura é una branca abbastanza nuova e tutt'ora (per certi versi) in evoluzione.
Il mio Prof. di Probabilità (con cui ho fatto teoria della misura) studió a suo tempo sul K&F e ne abbiamo parlato. Mi ha detto che il primo volume (la prima parte) é relativamente ben fatto, un po' vecchio nello stile certo, ma, per un corso introduttivo di analisi funzionale puó essere un buon approccio. Mi diceva invece che il secondo volume, quello sulla teoria della misura e integrazione é superato e, ad oggi, mantiene solo un valore storico (o poco piú) ed é inutile utilizzarlo come riferimento.
Per quanto sia un principiante in questo campo, anch'io ti consiglio di rivolgerti altrove per la teoria della misura. Se vuoi un libro difficile ma che non ti deluderá, mai io andrei di Folland, "Real Analysis". Rimanderei lo studio del Rudin R&CA a piú tardi (per come costruisce la misura intendo). Per il resto i consigli di Paolo sono oro.
[/ot]
Il mio Prof. di Probabilità (con cui ho fatto teoria della misura) studió a suo tempo sul K&F e ne abbiamo parlato. Mi ha detto che il primo volume (la prima parte) é relativamente ben fatto, un po' vecchio nello stile certo, ma, per un corso introduttivo di analisi funzionale puó essere un buon approccio. Mi diceva invece che il secondo volume, quello sulla teoria della misura e integrazione é superato e, ad oggi, mantiene solo un valore storico (o poco piú) ed é inutile utilizzarlo come riferimento.
Per quanto sia un principiante in questo campo, anch'io ti consiglio di rivolgerti altrove per la teoria della misura. Se vuoi un libro difficile ma che non ti deluderá, mai io andrei di Folland, "Real Analysis". Rimanderei lo studio del Rudin R&CA a piú tardi (per come costruisce la misura intendo). Per il resto i consigli di Paolo sono oro.
[/ot]
Prendendo per buona la definizione di integrale di Lebesgue per un dominio di integrazione di misura non finita data nella versione inglese del Kolmogorov-Fomin (piuttosto di quella della versione italiana, che mi sembra diversa e non giurerei che sia corretta), direi che ponendo \(X_n':=X_n\setminus\bigcup_{k=1}^{n-1}X_k\) si abbia \(X_n=\bigcup_{k=1}^n X_n'\) e perciò, per ogni funzione $g$ integrabile su $X_n$\[\int_{X_n} g(x)d\mu=\sum_{k=1}^n\int_{X_k'} g(x)d\mu\quad\quad\quad(1)\]perciò\[\int_{X} \varphi(x)d\mu=\lim_n\int_{X_n} \varphi(x)d\mu=\sum_{k=1}^\infty\int_{X_k'} \varphi(x)d\mu\]D'altra parte, poiché il modulo dell'integrale non è maggiore dell'integrale del modulo della funzione integranda, si ha che\[0\leq\sum_{k=1}^n\Big|\int_{X_k'} f(x)d\mu\Big|\leq\sum_{k=1}^n\int_{X_k'}\Big| f(x)\Big|d\mu\leq\sum_{k=1}^n\int_{X_k'}\varphi(x)d\mu\]ma l'ultimo membro a destra converge, quindi\[\sum_{k=1}^\infty\Big|\int_{X_k'} f(x)d\mu\Big|\leq\sum_{k=1}^\infty\int_{X_k'}\Big| f(x)\Big|d\mu\leq\int_{X} \varphi(x)d\mu\]e quindi \(\sum_{k=1}^\infty\int_{X_k'} f(x)d\mu\) converge, assolutamente, e per l'uguaglianza (1) coincide con \(\int_{X} f(x)d\mu\).
Spero di essere corretto se dico stupidaggini...
$\infty$ grazie a tutti!
Spero di essere corretto se dico stupidaggini...
$\infty$ grazie a tutti!
Buh Davide io veramente la vedo una cosa completamente ovvia. Una funzione misurabile è integrabile precisamente quando l'integrale del suo valore assoluto è finito. Questa ultima condizione è assicurata dalla stima che hai per ipotesi. Fine.
Questa è come l'altra domanda, quella cosa tragica sul fatto che l'unione di insiemi misurabili potrebbe non essere misurabile. (!!) Onestamente non penso che sia un bene scervellarsi troppo su queste minuzie fondazionali, specialmente al nostro livello.
Questa è come l'altra domanda, quella cosa tragica sul fatto che l'unione di insiemi misurabili potrebbe non essere misurabile. (!!) Onestamente non penso che sia un bene scervellarsi troppo su queste minuzie fondazionali, specialmente al nostro livello.
Grazie anche a te! Non sapevo che i domini di integrazione di misura non finita sono un po' "esotici", ma supponevo che fossero le semirette o la retta reale nel caso degli integrali impropri...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo