$f(x)$ uniformemente continua
Chi mi aiuta a provare che la seguente funzione è uniformemente continua nell'intervallo: $]0,+infty[$???????
$f(x)=\int_0^(1/x)t^2e^(-t)dt$
$f(x)=\int_0^(1/x)t^2e^(-t)dt$
Risposte
Prova a calcolare la derivata di $f$ e a vedere se essa è limitata.
Se la risposta è affermativa allora la tua $f$ è lipschitziana, quindi...
Se la risposta è affermativa allora la tua $f$ è lipschitziana, quindi...
"Gugo82":
Prova a calcolare la derivata di $f$ e a vedere se essa è limitata.
Se la risposta è affermativa allora la tua $f$ è lipschitziana, quindi...
capito molto chiaro.quindi basta trovare la derivata e vedere se essa è limitata. se essa è limitata allora f(x) è lipschitziana ed essendo lipschitziana essa è anche uniformemente continua. corretto???
Yes, of course. Well done, mazzy. 
(Non so perchè, ma oggi i vengono risposte in inglese...)
Ah, quando derivi ricorda di applicare correttamente il teorema di derivazione delle funzioni composte!
(Non so perchè, ma oggi i vengono risposte in inglese...)
Ah, quando derivi ricorda di applicare correttamente il teorema di derivazione delle funzioni composte!
"Gugo82":
Yes, of course. Well done, mazzy.
(Non so perchè, ma oggi i vengono risposte in inglese...)
Ah, quando derivi ricorda di applicare correttamente il teorema di derivazione delle funzioni composte!
ma scusami ottenuta la funzione derivata come verifico che essa è limitata nell'intervallo $]0,+infty[$?
Guarda com'è fatta, applica i teoremi sui limiti ed il teorema di Weierstrass; in alternativa, fatti un bello studio di funzione...
io ho calcolato il limite per x tendente a $+infty$ della derivata ed ho trovato ocme valore 0. quindi è limitata la derivata?
ma affinche una funzione sia limitata quando si calcolano i limiti agli estremi dell'intervallo in cui si voglia dimostrare l'uniformità quest'ultimi devono essere uguali a zero???
La derivata $f'$ è del tipo $1/(p(x))*e^(-1/x)$ con $p(x)$ funzione polinomiale.
Hai $f'(x)\to 0$ quando $x\to 0^+$ o $x\to +oo$, pertanto (per la stessa definizione di limite con $epsilon=1$) puoi determinare $delta_1,M_1>0$ in modo che $|f'(x)|<1$ per ogni $x\in ]0,delta_1[\cup ]M_1,+oo[$; d'altra parte visto che $f'$ è continua, anche $|f'|$ è continua nel compatto $[delta_1,M_1]$ e per il teorema di Weierstrass essa ha massimo assoluto in $[delta_1,M_1]$, che diciamo $L>=0$: pertanto risulta $|f'(x)|<=L$ per ogni $x\in [delta_1,M_1]$.
Visto che $RR=(]0,delta_1[\cup ]M_1,+oo[)\cup[delta_1,M_1]$, quanto trovato in precedenza mostra che $|f'(x)|<=max\{ 1,L\}$ in tutto $RR$, ossia che $f'$ è limitata in $RR$.
Segue la lipschitzianità di $f$.
Hai $f'(x)\to 0$ quando $x\to 0^+$ o $x\to +oo$, pertanto (per la stessa definizione di limite con $epsilon=1$) puoi determinare $delta_1,M_1>0$ in modo che $|f'(x)|<1$ per ogni $x\in ]0,delta_1[\cup ]M_1,+oo[$; d'altra parte visto che $f'$ è continua, anche $|f'|$ è continua nel compatto $[delta_1,M_1]$ e per il teorema di Weierstrass essa ha massimo assoluto in $[delta_1,M_1]$, che diciamo $L>=0$: pertanto risulta $|f'(x)|<=L$ per ogni $x\in [delta_1,M_1]$.
Visto che $RR=(]0,delta_1[\cup ]M_1,+oo[)\cup[delta_1,M_1]$, quanto trovato in precedenza mostra che $|f'(x)|<=max\{ 1,L\}$ in tutto $RR$, ossia che $f'$ è limitata in $RR$.
Segue la lipschitzianità di $f$.
"Gugo82":
La derivata $f'$ è del tipo $1/(p(x))*e^(-1/x)$ con $p(x)$ funzione polinomiale.
Hai $f'(x)\to 0$ quando $x\to 0^+$ o $x\to +oo$, pertanto (per la stessa definizione di limite con $epsilon=1$) puoi determinare $delta_1,M_1>0$ in modo che $|f'(x)|<1$ per ogni $x\in ]0,delta_1[\cup ]M_1,+oo[$; d'altra parte visto che $f'$ è continua, anche $|f'|$ è continua nel compatto $[delta_1,M_1]$ e per il teorema di Weierstrass essa ha massimo assoluto in $[delta_1,M_1]$, che diciamo $L>=0$: pertanto risulta $|f'(x)|<=L$ per ogni $x\in [delta_1,M_1]$.
Visto che $RR=(]0,delta_1[\cup ]M_1,+oo[)\cup[delta_1,M_1]$, quanto trovato in precedenza mostra che $|f'(x)|<=max\{ 1,L\}$ in tutto $RR$, ossia che $f'$ è limitata in $RR$.
Segue la lipschitzianità di $f$.
ti ringrazio per l'esauriente spiegazione. gentilissimo
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