F(x) iniettiva e derivata prima

[21zuclo]

Ciao a tutti, vorrei capire questo esercizio di un tema d'esame del mio professore. Non capisco il suo ragionamento. Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo.

Sia $f:(5/6,+\infty)\to \mathbb{R}$ definita da $f(x)=\ln(6x-5)-2\arctan(x)$.

Dimostrare che la funzione è iniettiva.

ecco stavo pensando di abbozzare un grafico, perchè per dimostrarlo con la definizione, è un po' laborioso.

Allora sono andato a vedere la risoluzione del mio professore, e il mio professore scrive che la funzione è iniettiva perchè la sua derivata prima è positiva $f'(x)>0,\forall x>5/6$

La mia domanda è perchè dalla derivata prima capisce che la funzione è iniettiva?

Io sulle derivate so questo teorema, dove non parla della iniettività

Sia $I$ intervallo sottoinsieme di $\mathbb{R}$, e sia $f:I\to \mathbb{R}$ derivabile in $I$
1. Condizione necessaria e sufficiente affinché $f$ sia monotona non decrescente in I è che $f'(x)\geq 0, \forall x\in I$
2. Condizione necessaria e sufficiente affinché $f$ sia monotona non crescente in I è che $f'(x)\leq 0, \forall x\in I$

[Brancaleone1]

La derivata della funzione è

$f'(x)=6/(6x-5)-2/(1+x^2)$

che è strettamente positiva per $x>5/6$: questo significa che la funzione è monotona crescente, e quindi viene rispettata la condizione di iniettività $f(x_0) ne f(x_1), forall x in (5/6,+oo)$

[gio73]

Ciao L.
provo a ragionare con te, dimmi che ne pensi.
Se la derivata prima è sempre positiva nel campo di esistenza della nostra funzione significa che cresce sempre e quindi se prendiamo due x diverse qualsiasi , $x_1!=x_2$ siamo certi che otterremo due immagini differenti $f(x_1)!=f(x_2)$
se $x_1!=x_2$ allora potrebbero darsi due casi
$x_1>x_2$, visto che sappiamo che la funzione è sempre crescente, mai neanche un tratto orizzontale la derivata prima è sempre maggiore di 0, non maggiore o uguale, allora $f(x_1)>f(x_2)$
se invece $x_1

Cita

Segnala

[21zuclo]

"Brancaleone":La derivata della funzione è

$f'(x)=6/(6x-5)-2/(1+x^2)$

che è strettamente positiva per $x>5/6$: questo significa che la funzione è monotona crescente, e quindi viene rispettata la condizione di iniettività $f(x_0) ne f(x_1), forall x in (5/6,+oo)$

ah ok! grazie Brancaleone!

mentre per gio73

con il tuo ragionamento ci sono! non capisco perchè stavi anche per guardare il caso $x_1

Cita

Segnala

[gio73]

"21zuclo":

mentre per gio73

con il tuo ragionamento ci sono! non capisco perchè stavi anche per guardare il caso $x_1
No la funzione è sempre la stessa ed è crescente, affinchè sia iniettiva deve essere vero che se io prendo due elementi diversi dall'inieme di partenza devo beccare con la freccia due elementi diversi nell'insieme di arrivo. Noi abbiamo la fortuna di avere una funzione tra elementi che appatengono ad un insieme ordinato quindi se ho due elementi diveri possono darsi due casi o il primo è maggiore del secondo o il primo è minore del secondo. Se il primo elemento è maggiore del secondo anche la sua immagine sarà maggiore dell'immagine del secondo (la funzione è crescente, no?), viceversa se il primo è minore del secondo anche la sua immagine è minore dell'immagine del secondo, ad ogni modo le due immagini possono coincidere solo se i due elemnti di partenza coincidono, da ciò l'iniettività.