$f(x)$ in un eq. diff. non lineare di secondo ordine
Apro questo thread nella speranza di fare chiarezza una volta per tutte...
1) Qualora la $f(x)$ abbia più termini (ad es. $f(x)=f1(x)+f2(x)+...fn(x)$ con $f1(x)!=f2(x)!=fn(x)$), questa deve essere sempre studiata come un polinomio unico oppure, caso contrario, i termini devono essere sempre studiati separatamente?
2) Nel caso in cui le singole $fn(x)$ debbano essere studiate separatamente, le derivate prima seconda terza etc. devono essere calcolate prima (vale a dire calcolandole rispettivamente per le singole $fn(x)$ e poi, una volta ottenuti i valori finali di $yp(x)$, sommando questi ultimi tra loro) oppure dopo (vale a dire sommando prima le diverse $fn(x)$ e poi calcolandole solo sulla $f(x)=f1(x)+f2(x)+...+fn(x)$ generale)? Provo a spiegarmi meglio:
ESEMPIO 1: $y'''-2y''+2y'=x^2+x$ --> In questo caso la $f(x)$ viene studiata come un polinomio unico: $ f(x)=P(x)e^(alphax) $ con $P(x)$ polinomio di grado 2 moltiplicato per $e^(alphax)=e^(0x)=1$, da cui $alpha=0$ che è radice del polinomio caratteristico con molteplicità unitaria e quindi $f1(x)=x^hP1(x)e^(alphax)=x(ax^2+bx+c)$.
Per il calcolo delle derivate prima, seconda e terza: nessun problema dato che si parte da un'unica $f1(x)$.
ESEMPIO 2: $y''(x)-6y'(x)+13y(x)=e^(3x)+5sin(2x)$ --> In questo caso la $f(x)$ viene studiata separatamente: $f1(x)=P(x)e^(alphax)$ per $e^(3x)$ e $f2(x)=Asin(betax)$, da cui si ricava che $f(x)=f11(x)+f21(x)=Acos(2x)+Bsin(2x)+ce^(3x)$.
Per il calcolo delle derivate prima e seconda: sono andato prima a sommare le due $fi(x)$ e poi è sulla $f(x)$ generale che sono andato a calcolare le derivate.
ESEMPIO 3: $y'''+4y''-7y'-10y=100x^2-64e^(3x)$ --> In questo caso la $f(x)$ viene studiata separatamente come la somma di due polinomi, e sembra che le derivate prima, seconda e terza vengano calcolate prima per la $f1(x)$ e $f2(x)$ e, solo successivamente, vengano sommati i valori delle diverse $yp(x)$.
Insomma un po' di confusione: qualcuno che diradi la nebbia?
1) Qualora la $f(x)$ abbia più termini (ad es. $f(x)=f1(x)+f2(x)+...fn(x)$ con $f1(x)!=f2(x)!=fn(x)$), questa deve essere sempre studiata come un polinomio unico oppure, caso contrario, i termini devono essere sempre studiati separatamente?
2) Nel caso in cui le singole $fn(x)$ debbano essere studiate separatamente, le derivate prima seconda terza etc. devono essere calcolate prima (vale a dire calcolandole rispettivamente per le singole $fn(x)$ e poi, una volta ottenuti i valori finali di $yp(x)$, sommando questi ultimi tra loro) oppure dopo (vale a dire sommando prima le diverse $fn(x)$ e poi calcolandole solo sulla $f(x)=f1(x)+f2(x)+...+fn(x)$ generale)? Provo a spiegarmi meglio:
ESEMPIO 1: $y'''-2y''+2y'=x^2+x$ --> In questo caso la $f(x)$ viene studiata come un polinomio unico: $ f(x)=P(x)e^(alphax) $ con $P(x)$ polinomio di grado 2 moltiplicato per $e^(alphax)=e^(0x)=1$, da cui $alpha=0$ che è radice del polinomio caratteristico con molteplicità unitaria e quindi $f1(x)=x^hP1(x)e^(alphax)=x(ax^2+bx+c)$.
Per il calcolo delle derivate prima, seconda e terza: nessun problema dato che si parte da un'unica $f1(x)$.
ESEMPIO 2: $y''(x)-6y'(x)+13y(x)=e^(3x)+5sin(2x)$ --> In questo caso la $f(x)$ viene studiata separatamente: $f1(x)=P(x)e^(alphax)$ per $e^(3x)$ e $f2(x)=Asin(betax)$, da cui si ricava che $f(x)=f11(x)+f21(x)=Acos(2x)+Bsin(2x)+ce^(3x)$.
Per il calcolo delle derivate prima e seconda: sono andato prima a sommare le due $fi(x)$ e poi è sulla $f(x)$ generale che sono andato a calcolare le derivate.
ESEMPIO 3: $y'''+4y''-7y'-10y=100x^2-64e^(3x)$ --> In questo caso la $f(x)$ viene studiata separatamente come la somma di due polinomi, e sembra che le derivate prima, seconda e terza vengano calcolate prima per la $f1(x)$ e $f2(x)$ e, solo successivamente, vengano sommati i valori delle diverse $yp(x)$.
Insomma un po' di confusione: qualcuno che diradi la nebbia?
Risposte
Grande confusione specialmente nel titolo: stai parlando di equazioni LINEARI. Così com'è non si capisce niente, cambia il titolo e metti un incipit spiegando cosa stai facendo.
Hai ragione, rileggendo a mente lucida non si capisce un accidente, ciononostante ho risolto il mio dubbio. Che poi dubbio non era ma tant'è... Grazie comunque 
Mi fa piacere. Quello a volte si chiama "metodo di somiglianza", non ci sono grandi idee dietro, si tratta solo di un compendio di trucchi. La cosa matematicamente profonda è il principio di sovrapposizione, che ti permette di decomporre in somma il termine noto e risolvere separatamente due equazioni differenziali, per poi sommare il risultato. Questo se l'equazione non è lineare te lo scordi.
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