$f'(x^(+-))$ finito $=>f(x^(+-))$ finito?

[DavideGenova1]

Ciao, amici!
Intuitivamente mi pare che, per una funzione $f$ derivabile in $(a,x_0)uu(x_0,b)$ se esiste finito il limite $lim_(x->x_0^(+-)) f'(x)$, esista finito $lim_(x->x_0^(+-)) f(x)$. Pensando al significato geometrico di derivata come pendenza della tangente mi sembra che sia giusta quest'affermazione, ma al momento non mi viene in mente una dimostrazione rigorosa, sempre che sia corretta la mia ipotesi...
Qualcuno potrebbe confermare o smentire?
Grazie $+oo$!!!!

[ciampax]

Ti stai chiedendo, praticamente, la cosa seguente: "Se la derivata è una funzione continua in $x_0$, che caratteristiche ha la funzione originale?" E credo che la risposta dovrebbe essere ovvia, non credi?

[gugo82]

@DavideGenova: Se non sbaglio stai ipotizzando che esistano finiti entrambi i limiti \(\lim_{x\to x_0^\pm} f^\prime (x)\), ma non che siano necessariamente coincidenti (in altre parole, può accadere che \(\lim_{x\to x_0^-} f^\prime (x)\neq \lim_{x\to x_0^+} f^\prime (x)\))... O ho capito male io?

[ciampax]

Mmmmm, a me sembrava di aver capito che i due limiti delle derivate fossero uguali, visto che li ha "compattati" in uno solo.

[DavideGenova1]

Grazie a tutti e due!!! Non ipotizzo che i due limiti delle funzione derivate in $x_0$ siano uguali, ma solo che siano finiti, anche se eventualmente diversi, cioè, definiti $f$ e $x_0$ come sopra, se esiste finito $lim_(x->x_0^+) f'(x)$ allora esiste finito $lim_(x->x_0^+) f(x)$? E, se esiste finito $lim_(x->x_0^-) f'(x)$ allora esiste finito $lim_(x->x_0^-) f(x)$?
Grazie di cuore di nuovo!

[Rigel1]

Consideriamo il caso \( (a, x_0)\). Dalle ipotesi deduciamo che \( f'\) è limitata in un intorno sinistro di \(x_0\) (basta questo; non serve l'esistenza del limite), dunque esistono \( x_1\in (a, x_0)\) e \(L>0\) t.c. \(|f'(x)| \leq L\) per ogni \(x\in [x_1, x_0)\). Di conseguenza \(f\) è Lipschitziana, e dunque uniformemente continua, su \([x_1, x_0)\); per note proprietà delle funzioni uniformemente continue essa è dunque prolungabile con continuità su \([x_1, x_0]\) o, in altri termini, esiste finito \( \lim_{x\to x_0^-} f(x)\).

[DavideGenova1]

Grazie anche a te, Rigel!!! Non ci sarei mai arrivato: non sono ancora arrivato alla parte del libro che parla di lipschitzianità di una funzione...