Funzioni vettoriali: interpretazioni, esempi e dubbi
Buonasera a tutti,
io avrei dei dubbi sulle funzioni a più variabili vettoriali.
Allora, io ho capito che queste sono funzioni che associano ad un'n-upla le k componenti di un vettore.
fin qui ditemi se sbaglio.
Potreste farmi qualche esempio di funzione vettoriale, per comprendere meglio?
Inoltre, le funzioni su cui andiamo a calcolare integrali tripli e doppi sono vettoriali, vero? perchè non su quelle scalari? scusate la domanda , ma diciamo che questo è il dubbio più grande per me.
Grazie mille!
io avrei dei dubbi sulle funzioni a più variabili vettoriali.
Allora, io ho capito che queste sono funzioni che associano ad un'n-upla le k componenti di un vettore.
fin qui ditemi se sbaglio.
Potreste farmi qualche esempio di funzione vettoriale, per comprendere meglio?
Inoltre, le funzioni su cui andiamo a calcolare integrali tripli e doppi sono vettoriali, vero? perchè non su quelle scalari? scusate la domanda , ma diciamo che questo è il dubbio più grande per me.
Grazie mille!
Risposte
"cherry8490":
Allora, io ho capito che queste sono funzioni che associano ad un'n-upla le k componenti di un vettore.
fin qui ditemi se sbaglio.
Non capisco cosa significa questa frase.
Inoltre, non sono sicuro su cosa tu intenda per "funzioni a più variabili vettoriali". Se intendi "funzioni di più variabili vettoriali", allora sono funzioni
\[
f : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \times \dots \mathbb{R}^n \to E
\]
dove \(E\) è un insieme di cui a priori non ci interessa nulla.
Per fare un esempio, una funzione di questo tipo da \(\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) potrebbe essere
\[
f \left( \begin{pmatrix}x_1 \\ y_1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \right) = x_1 + x_2 + y_1 + y_2.
\]
Se invece intendi "funzioni a valori vettoriali", allora queste sono funzioni
\[
f : E \to \mathbb{R}^n
\]
di cui un esempio potrebbe essere, da \(\mathbb R \to \mathbb R^2\),
\[
f (x) = \begin{pmatrix}x \\ e^x \end{pmatrix}.
\]
Era questo che volevi sapere?
si è quello che intendevo...solo che ho una dispensa che mi è stata fornita e che parla di funzioni vettoriali di n variabili reali e le descrive come funzioni che vanno da R elevato ad n in R elevato ad m.
la domanda che però mi preme di più è se gli integrali doppi e tripli si calcolano su funzioni vettoriali e perchè non sulle scalari. Forse perchè queste non restituiscono un vettore , ma uno scalare? grazie mille!
la domanda che però mi preme di più è se gli integrali doppi e tripli si calcolano su funzioni vettoriali e perchè non sulle scalari. Forse perchè queste non restituiscono un vettore , ma uno scalare? grazie mille!
Le formule!! 
Le funzioni che citi tu sono un caso misto di quelli che ho elencato io. Un possibile esempio è una
\[
f : \mathbb R^3 \to \mathbb R^2 : \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x^2 + y^2 \\ z^3 - xy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = f(x,y,z).
\]
Per quanto riguarda l'integrazione, non capisco bene cosa intendi. Uno può benissimo avere una funzione scalare
\[
f : \mathbb R^2 \to \mathbb R : f(x,y) = x+y
\]
e poi scrivere
\[
I = \int_1^2 \int_{45}^{e^{30}} f(x,y) \ dxdy.
\]
Le funzioni che citi tu sono un caso misto di quelli che ho elencato io. Un possibile esempio è una
\[
f : \mathbb R^3 \to \mathbb R^2 : \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x^2 + y^2 \\ z^3 - xy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = f(x,y,z).
\]
Per quanto riguarda l'integrazione, non capisco bene cosa intendi. Uno può benissimo avere una funzione scalare
\[
f : \mathbb R^2 \to \mathbb R : f(x,y) = x+y
\]
e poi scrivere
\[
I = \int_1^2 \int_{45}^{e^{30}} f(x,y) \ dxdy.
\]
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