Funzioni usate per il confronto
ciao! volevo capire se ci sono prototipi di funzioni usate per i confronti asintotici(utili per capire se la funzione di partenza è integrabile o meno). Tipo 1/x^p con p maggiore di uno è l'unica che conosco e che spesso ritrovo da utilizzare.. Altre funzioni frequenti?
Risposte
Un po' tutte quelle che conosci: esponenziale, potenze, seno, coseno, funzioni costanti, logaritmi, ...
ti Io ho schematizzzato una serie di ""integrali impropri notevoli" ... non so se può esserti utile:
\begin{align*}
\int_{a}^{1} \frac{1}{\ln^\beta x}\, dx\qquad=\begin{cases} \mbox{converge se }\quad &\beta<1 \\ \mbox{diverge se }\quad&\beta\ge1
\end{cases},\quad 0
\begin{align*}
\int_{0}^{a} \frac{1}{x^{\alpha}\ln^\beta x}\, dx\qquad=\begin{cases} \mbox{converge se }\quad &\alpha<1\quad \mbox{e}\quad \forall\beta \\
\mbox{converge se }\quad &\alpha=1 \quad \mbox{e} \quad \beta>1 \\
\mbox{diverge se }\quad &\alpha>1\quad \mbox{e}\quad \forall\beta \\
\mbox{diverge se }\quad &\alpha=1 \quad \mbox{e} \quad \beta\le1
\end{cases},\quad 0
\begin{align*}
\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^{\alpha}\ln^\beta x}\, dx\qquad=\begin{cases} \mbox{converge se }\quad &\alpha>1\quad \mbox{e}\quad \forall\beta \\
\mbox{converge se }\quad &\alpha=1 \quad \mbox{e} \quad \beta>1 \\
\mbox{diverge se }\quad &\alpha<1\quad \mbox{e}\quad \forall\beta \\
\mbox{diverge se }\quad &\alpha=1 \quad \mbox{e} \quad \beta\le1
\end{cases},\quad a>1, \alpha,\beta \in \mathbb{R}
\end{align*}
\begin{align*}
\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{e^{\alpha x} }\, dx\qquad=\begin{cases} \mbox{converge se }\quad &\alpha>0 \\
\mbox{diverge se }\quad &\alpha<0 \end{cases},\quad a>0, \alpha \in \mathbb{R}
\end{align*}
\begin{align*}
\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{e^{\alpha x} \cdot x^{\beta}\cdot\ln^\gamma x}\, dx\qquad=\begin{cases} \mbox{se }\quad \alpha>0 \quad \mbox{converge}\quad \forall\beta,\gamma \\
\mbox{se }\quad \alpha<0 \quad \mbox{diverge}\quad \forall\beta,\gamma \\
\mbox{se }\quad \alpha=0 \quad \mbox{l'integrale si riduce al terzo caso caso}
\end{cases},\quad a>1, \alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{R}
\end{align*}
\begin{align*}
\int_{a}^{1} \frac{1}{\ln^\beta x}\, dx\qquad=\begin{cases} \mbox{converge se }\quad &\beta<1 \\ \mbox{diverge se }\quad&\beta\ge1
\end{cases},\quad 0
\begin{align*}
\int_{0}^{a} \frac{1}{x^{\alpha}\ln^\beta x}\, dx\qquad=\begin{cases} \mbox{converge se }\quad &\alpha<1\quad \mbox{e}\quad \forall\beta \\
\mbox{converge se }\quad &\alpha=1 \quad \mbox{e} \quad \beta>1 \\
\mbox{diverge se }\quad &\alpha>1\quad \mbox{e}\quad \forall\beta \\
\mbox{diverge se }\quad &\alpha=1 \quad \mbox{e} \quad \beta\le1
\end{cases},\quad 0
\begin{align*}
\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^{\alpha}\ln^\beta x}\, dx\qquad=\begin{cases} \mbox{converge se }\quad &\alpha>1\quad \mbox{e}\quad \forall\beta \\
\mbox{converge se }\quad &\alpha=1 \quad \mbox{e} \quad \beta>1 \\
\mbox{diverge se }\quad &\alpha<1\quad \mbox{e}\quad \forall\beta \\
\mbox{diverge se }\quad &\alpha=1 \quad \mbox{e} \quad \beta\le1
\end{cases},\quad a>1, \alpha,\beta \in \mathbb{R}
\end{align*}
\begin{align*}
\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{e^{\alpha x} }\, dx\qquad=\begin{cases} \mbox{converge se }\quad &\alpha>0 \\
\mbox{diverge se }\quad &\alpha<0 \end{cases},\quad a>0, \alpha \in \mathbb{R}
\end{align*}
\begin{align*}
\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{e^{\alpha x} \cdot x^{\beta}\cdot\ln^\gamma x}\, dx\qquad=\begin{cases} \mbox{se }\quad \alpha>0 \quad \mbox{converge}\quad \forall\beta,\gamma \\
\mbox{se }\quad \alpha<0 \quad \mbox{diverge}\quad \forall\beta,\gamma \\
\mbox{se }\quad \alpha=0 \quad \mbox{l'integrale si riduce al terzo caso caso}
\end{cases},\quad a>1, \alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{R}
\end{align*}
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