Funzioni uniformente continua
buonasera devo risolvere degli esercizi sulle funzioni uniformemente continue. Dal libro ho Capito che $ \( |f(x)-f(y)<\varepsilon \)$ ma non ho capito come fare gli esercizi ( abbiamo visto solo la definizione a lezione non abbiamo fatto nessun esempio ) ad esempio ho questo esercizo: \( $(xe^x)÷|x| \) in [-1;0). Come faccio a calcolare questa disequazione? Grazie in anticipo
Risposte
Facciamo un passo indietro.
Quello che hai scritto non vuol dire assolutamente niente. Non lo dico per pignoleria ma perché la bastardaggine della nozione di uniforme continuità è praticamente tutta nei quantificatori delle variabili. Quindi, sicura di averla compresa bene?
Suppongo la funzione sia $f(x)=(xe^x)/|x|$ in $[-1,0)$ (per carità, quel simbolo di divisione non si può vedere
).
Sebbene non sia questo il caso, ricorda che per il teorema di Heine-Cantor una funzione continua su un insieme compatto è su di esso anche uniformemente continua. Questo ti può semplificare la vita non poco in certe situazioni. (ci sono vari risultati interessanti sull'argomento che possono tornare utili: vedi ad esempio il teorema della farfalla).
Quello che invece può tornare utile adesso è questo risultato: se una funzione $g$ è continua in un intervallo limitato $(a,b)$ ed esistono finiti i limiti agli estremi, allora la funzione è uniformemente continua su $I$. (essenzialmente stai prolungando per continuità agli estremi).
Che mi dici del comportamento di $f$ in $U^(-)(0)$?
"VALE0":
Dal libro ho Capito che $ |f(x)−f(y)|<ε $
Quello che hai scritto non vuol dire assolutamente niente. Non lo dico per pignoleria ma perché la bastardaggine della nozione di uniforme continuità è praticamente tutta nei quantificatori delle variabili. Quindi, sicura di averla compresa bene?
"VALE0":
ho questo esercizo:
Suppongo la funzione sia $f(x)=(xe^x)/|x|$ in $[-1,0)$ (per carità, quel simbolo di divisione non si può vedere
). Sebbene non sia questo il caso, ricorda che per il teorema di Heine-Cantor una funzione continua su un insieme compatto è su di esso anche uniformemente continua. Questo ti può semplificare la vita non poco in certe situazioni. (ci sono vari risultati interessanti sull'argomento che possono tornare utili: vedi ad esempio il teorema della farfalla).
Quello che invece può tornare utile adesso è questo risultato: se una funzione $g$ è continua in un intervallo limitato $(a,b)$ ed esistono finiti i limiti agli estremi, allora la funzione è uniformemente continua su $I$. (essenzialmente stai prolungando per continuità agli estremi).
Che mi dici del comportamento di $f$ in $U^(-)(0)$?
Allora volevo intendere che : sia f:E->R si dice uniformemente continua su E se $ \( \forall \varepsilon >0, \exists \delta >0 ->
|f(x) -f(y)|<\epsilon , \forall x,y\in E,
|x-y|<\delta \) $
Pultroppo non so cosa intendi per il comportamento di f
Come teorema abbiamo fatto solo Heine-cantor , quindi quello della farfalla non lo posso utilizzare
così come derivate, ho visto del materiale da internet dove usavano derivate. Pultroppo il nostro prof di analisi tanete cose non le ha voluto fare per analisi 1, ma non ci ha manco spiegato come fare queste ahahah grazie per la risposta
|f(x) -f(y)|<\epsilon , \forall x,y\in E,
|x-y|<\delta \) $
Pultroppo non so cosa intendi per il comportamento di f
Come teorema abbiamo fatto solo Heine-cantor , quindi quello della farfalla non lo posso utilizzare
così come derivate, ho visto del materiale da internet dove usavano derivate. Pultroppo il nostro prof di analisi tanete cose non le ha voluto fare per analisi 1, ma non ci ha manco spiegato come fare queste ahahah grazie per la risposta
Ok questo complica le cose ma magari riusciamo a cavar fuori qualcosa dalla definizione. Proviamo a studiare la quantità
\[\displaystyle \left|f(x)-f(y)\right|=\left|\frac{xe^x}{|x|}-\frac{ye^y}{|y|}\right| \] Notiamo innanzitutto che questa scrittura equivale alla seguente: \[\displaystyle \left|\text{sgn} (x)e^x-\text{sgn} (y)e^y\right| \] e dal momento che l'intervallo in esame è \(\displaystyle [-1,0) \) le due variabili sono sempre negative e la funzione segno restituisce \(\displaystyle -1 \): \[\displaystyle \Rightarrow\left|e^y-e^x\right|\le |x-y| \] dove ho potuto maggiorare in virtù dell'intervallo in cui ci troviamo. Adesso nota che se per ipotesi \(\displaystyle |x-y|<\delta \) allora abbiamo trovato che \[\displaystyle \left|f(x)-f(y)\right|<\epsilon \] scegliendo banalmente \(\displaystyle \delta(\epsilon)=\epsilon \).
\[\displaystyle \left|f(x)-f(y)\right|=\left|\frac{xe^x}{|x|}-\frac{ye^y}{|y|}\right| \] Notiamo innanzitutto che questa scrittura equivale alla seguente: \[\displaystyle \left|\text{sgn} (x)e^x-\text{sgn} (y)e^y\right| \] e dal momento che l'intervallo in esame è \(\displaystyle [-1,0) \) le due variabili sono sempre negative e la funzione segno restituisce \(\displaystyle -1 \): \[\displaystyle \Rightarrow\left|e^y-e^x\right|\le |x-y| \] dove ho potuto maggiorare in virtù dell'intervallo in cui ci troviamo. Adesso nota che se per ipotesi \(\displaystyle |x-y|<\delta \) allora abbiamo trovato che \[\displaystyle \left|f(x)-f(y)\right|<\epsilon \] scegliendo banalmente \(\displaystyle \delta(\epsilon)=\epsilon \).
Quindi la mia f(x) e f(y ) come le calcolo
Temo tu non abbia seguito il discorso, vero? Per dimostrare che una funzione è uniformemente continua su un intervallo occorre mostrare che fissato un $epsilon>0$ esiste $delta=delta(epsilon)>0$ t.c. per ogni coppia $x,y$ dell'intervallo si abbia $|f(x)-f(y)|
Come facciamo nel concreto? Parto proprio dalla quantità $|f(x)-f(y)|$, che non va calcolata, qualunque cosa significhi, bensì va maggiorata in modo intelligente (tu conosci già esplicitamente sia $f(x)$ che $f(y)$).
L'obiettivo è far vedere quanto detto sopra. Obiettivo che credo sia raggiunto dal mio post precedente, che ti invito a riguardare alla luce di queste nuove scoperte
ok grazie , no non avevo ben capito perchè sul mio libro non ho manco un esempio e neanche a lezione gli abbiamo visti:)
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