Funzioni uguali quasi ovunque
Come e' noto, due funzioni f e g sono uguali quasi ovunque se l'insieme dove sono diverse ha misura nulla. (Si consideri pure al caso di funzioni reali di una variabile sola).
Dimostrare che due funzioni continue uguali quasi ovunque, in realta' coincidono dappertutto.
Luca.
Dimostrare che due funzioni continue uguali quasi ovunque, in realta' coincidono dappertutto.
Luca.
Risposte
Siano f e g due funzioni continue ed uguali quasi ovunque. La loro differenza è ancora una funzione continua diversa da 0 tranne in un insieme di misura nulla, ossia numerabile. La numerabilità implica che ci sia almeno un punto che non è di accumulazione*. Di conseguenza esiste un punto di discontinuità. Assurdo.
* Un punto è detto di accumulzione in un insieme I se ogni suo intorno contiene un punto di I.
* Un punto è detto di accumulzione in un insieme I se ogni suo intorno contiene un punto di I.
L'insieme di Cantor ha la potenza del continuo ed ha L-misura nulla ...
quote:
Originally posted by arriama
L'insieme di Cantor ha la potenza del continuo ed ha L-misura nulla ...
É vero, ma non ha punti di accumulazione, il che non comprometterebbe la mia dimostrazione. Viene dunque da chiedermi se è vero un insieme di misura nulla in R^1 ha solo se ha almeno un punto che non sia di accumulazione...
Be', l'insieme dei numeri del tipo 1/n ha come 0 punto di accumulazione... e' un insieme numerabile pero'.
Luca.
Luca.
Un sottoinsieme di R infinito e limitato ha almeno un punto di accumulazione (Bolzano-Weierstrass).
L'insieme di Cantor è infinito e limitato (almeno mi risulta) ...
L'insieme di Cantor è infinito e limitato (almeno mi risulta) ...
quote:
Originally posted by Luca77
Be', l'insieme dei numeri del tipo 1/n ha come 0 punto di accumulazione... e' un insieme numerabile pero'.
Infatti è un insieme di misura nulla in quanto numerabile e tutti i suoi punti non sono di accumulazione: ti sei dimenticato di includere 0 nell'insieme [;)]
Cmq, mi stavo chiedendo se un insieme di misura nulla ammette sempre un punto che non è di accumulazione. Non se ne possiede uno.
Chiarirei così quanto venuto fuori finora :
- 1 -
Un sottoinsieme di R numerabile (o finito) ha L-misura nulla.
Il viceversa non è vero (vedi l'insieme di Cantor che ha la potenza del continuo ed L-misura nulla).
- 2 -
L'insieme Q (numeri razionali) è numerabile quindi ha L-misura nulla.
D'altra parte, Q è denso in sè (è sottoinsieme del suo derivato, cioè dell'insieme dei suoi punti di accumulazione (che nella fattispecie formano R)) per cui non possiede punti isolati (punti appartenenti all'insieme che non sono punti di accumulazione).
Ecco quindi un esempio di insieme a L-misura nulla che non possiede punti isolati !
La strada finora intrapresa, purtroppo, non è proficua.
Bye.
ps. la topologia è molto bella ma sottile e difficile ... così come la teoria della misura di Lebesgue ...
- 1 -
Un sottoinsieme di R numerabile (o finito) ha L-misura nulla.
Il viceversa non è vero (vedi l'insieme di Cantor che ha la potenza del continuo ed L-misura nulla).
- 2 -
L'insieme Q (numeri razionali) è numerabile quindi ha L-misura nulla.
D'altra parte, Q è denso in sè (è sottoinsieme del suo derivato, cioè dell'insieme dei suoi punti di accumulazione (che nella fattispecie formano R)) per cui non possiede punti isolati (punti appartenenti all'insieme che non sono punti di accumulazione).
Ecco quindi un esempio di insieme a L-misura nulla che non possiede punti isolati !
La strada finora intrapresa, purtroppo, non è proficua.
Bye.
ps. la topologia è molto bella ma sottile e difficile ... così come la teoria della misura di Lebesgue ...
Ho trovato una soluzione banale che (se esatta) porta anche alla conclusione che il teorema può essere generalizzato al caso in cui l'insieme (in cui le funzioni continue sono diverse) possa essere di qualunque tipo (e non sono a L-misura nulla), purchè sottoinsieme proprio del dominio.
Sei d'accordo Luca ?
Sei d'accordo Luca ?
Il Teorema e' vero per funzioni definite su un qualsiasi sottoinsieme di R^n, e la dimostrazione che ho in mente io e' abbastanza breve.
Fammi sapere, ciao, Luca.
Fammi sapere, ciao, Luca.
Allora ci provo (la mia formazione di fisico è carente, purtroppo, in materia di dimostrazioni di teoremi ...).
Siano f e g due funzioni continue da A ad R, dove A è un sottoinsieme di R.
Sia B un sottoinsieme proprio di A e sia :
f(x) = g(x) per ogni x appartenente a A - B
e
f(x) <> g(x) per ogni x appartnente a B.
Dimostrare che f(x) = g(x) per ogni x appartenente ad A.
Consideriamo la funzione:
h(x) = f(x) - g(x)
per ogni x appartenete ad A.
Essa, per un noto teorema, essendo f e g continue, è continua su A.
D'altra parte si ha :
h(x) = 0 per ogni x appartenente ad A - B
h(x) <> 0 per ogni x appartenente a B.
Questa è ovviamente una funzione discontinua contro l'ipotesi, ergo deve essere f = g su A.
S.E.e.O.
ps. la generalizzazione ad R^n penso sia implicita
Siano f e g due funzioni continue da A ad R, dove A è un sottoinsieme di R.
Sia B un sottoinsieme proprio di A e sia :
f(x) = g(x) per ogni x appartenente a A - B
e
f(x) <> g(x) per ogni x appartnente a B.
Dimostrare che f(x) = g(x) per ogni x appartenente ad A.
Consideriamo la funzione:
h(x) = f(x) - g(x)
per ogni x appartenete ad A.
Essa, per un noto teorema, essendo f e g continue, è continua su A.
D'altra parte si ha :
h(x) = 0 per ogni x appartenente ad A - B
h(x) <> 0 per ogni x appartenente a B.
Questa è ovviamente una funzione discontinua contro l'ipotesi, ergo deve essere f = g su A.
S.E.e.O.
ps. la generalizzazione ad R^n penso sia implicita
Non capisco perche' h(X)=0... e poi cosa intendi quando scrivi <>?
Ciao, Luca.
Ciao, Luca.
Il simbolo "<>" è uno dei tanti modi (informatici) di dire "diverso". L'ho usato pensando (deformazione professionale !) che fosse universamente conosciuto.
Purtroppo non trovo più in questo forum i simboli matematici preconfezionati ...
Per quanto riguarda h(x) = 0, ciò si verifica in A - B , dove cioè le due funzioni (f e g) sono uguali per ipotesi.
Bye.
Purtroppo non trovo più in questo forum i simboli matematici preconfezionati ...
Per quanto riguarda h(x) = 0, ciò si verifica in A - B , dove cioè le due funzioni (f e g) sono uguali per ipotesi.
Bye.
Non colgo dove hai l'assurdo. Perche' dici che h e' discontinua? se io raccordo la funzione nulla con una funzione non nulla in modo continuo... ottengo una funzione continua. Bisogna usare il fatto che B ha misura nulla.
Luca.
Luca.
quote:
Originally posted by arriama
Il simbolo "<>" è uno dei tanti modi (informatici) di dire "diverso".
Si può anche usare # per scrivere "diverso"!
Giusto !!! Ho preso una cantonata pazzesca ...
Ci riprovo (scusate, ma sono un tipo tenace).
Siano f e g due funzioni continue da A ad R, dove A è un sottoinsieme di R.
Sia B un sottoinsieme proprio di A con L-misura nulla e sia :
f(x) = g(x) per ogni x appartenente a A - B
e
f(x) # g(x) per ogni x appartenente a B.
Dimostrare che f(x) = g(x) per ogni x appartenente ad A.
Sia c un punto di B. E' facile dimostrare che ogni intorno circolare di c contiene almeno un punto di A (altrimenti, quell'intorno, avendo misura > 0, contraddirrebbe al fatto che B ha misura nulla).
Si ha anche che la funzione :
h(x) = f(x) - g(x)
è continua perchè differenza di funzioni continue.
D'altra parte, per quanto detto sopra, nel punto c la funzione h(x) non è continua perchè in qualunque intorno circolare di c si hanno valori di h(x) nulli e non nulli, per cui si ha l'assurdo.
S.E.e.O.
ps. fusse che fusse ...
Siano f e g due funzioni continue da A ad R, dove A è un sottoinsieme di R.
Sia B un sottoinsieme proprio di A con L-misura nulla e sia :
f(x) = g(x) per ogni x appartenente a A - B
e
f(x) # g(x) per ogni x appartenente a B.
Dimostrare che f(x) = g(x) per ogni x appartenente ad A.
Sia c un punto di B. E' facile dimostrare che ogni intorno circolare di c contiene almeno un punto di A (altrimenti, quell'intorno, avendo misura > 0, contraddirrebbe al fatto che B ha misura nulla).
Si ha anche che la funzione :
h(x) = f(x) - g(x)
è continua perchè differenza di funzioni continue.
D'altra parte, per quanto detto sopra, nel punto c la funzione h(x) non è continua perchè in qualunque intorno circolare di c si hanno valori di h(x) nulli e non nulli, per cui si ha l'assurdo.
S.E.e.O.
ps. fusse che fusse ...
Bravo arriama. Se mi permetti, la riscrivo in un altro modo, piu' topologico: l'insieme B ha misura nulla, ed e' aperto, poiche' e' il complementare di un chiuso, l'insieme degli zeri di h (h e' continua...).
Ma un aperto di misura nulla e' vuoto!
Luca.
Ma un aperto di misura nulla e' vuoto!
Luca.
Ottimo Luca !!
A me manca ancora una mentalità topologica. Me la sto costruendo un po' alla volta, da quando (recentemente) ho capito che il vero cuore della matematica è la topologia ...
Per quanto riguarda la mia dimostrazione, essendo A un insieme qualunque, occorre precisare che il punto c non deve essere isolato (come elemento di A) e che dall'intorno circolare occorre escludere il punto c stesso.
Ciò non è restrittivo, perchè gli eventuali punti isolati di A appartenenti a B possono essere "trattati" a parte.
Oppure si poteva porre all'inizio che A fosse aperto ...
Questa precisazione sottolinea ancora di più la potenza e l'eleganza della tua dimostrazione !
Bye.
A me manca ancora una mentalità topologica. Me la sto costruendo un po' alla volta, da quando (recentemente) ho capito che il vero cuore della matematica è la topologia ...
Per quanto riguarda la mia dimostrazione, essendo A un insieme qualunque, occorre precisare che il punto c non deve essere isolato (come elemento di A) e che dall'intorno circolare occorre escludere il punto c stesso.
Ciò non è restrittivo, perchè gli eventuali punti isolati di A appartenenti a B possono essere "trattati" a parte.
Oppure si poteva porre all'inizio che A fosse aperto ...
Questa precisazione sottolinea ancora di più la potenza e l'eleganza della tua dimostrazione !
Bye.
quanto mi piace quando parlate di queste cose!! peccato che ci capisco ancora poco o niente!!
E' vero uber !!! La matematica è un grande piacere tanto maggiore quanto più ci si spinge nella topologia. Nelle strutture astratte.
Purtroppo, alle superiori si fa tutt'altro, anche se oggi giorno è meglio che ai miei tempi (mi sono diplomato nel '69 o giù di lì, non ricoro bene).
Allora non si facevano neanche gli insiemi e quando, al primo anno di fisica presi in mano il libro di algebra, quando capii per esempio che una relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano, fu per me come una illuminazione divina ...
Poi, la matematica la studiai come fosse un mero strumento, senza assaporarne l'essenza specifica (questo è l'errore che fanno molti fisici ...).
Oggi, liberatomi dalle implicazioni pratiche, posso approfondirne gli aspetti astratti e, veramente, ho cominciato ad entrare in un mondo che mi affascina e prende sempre più ...
Bye.
Purtroppo, alle superiori si fa tutt'altro, anche se oggi giorno è meglio che ai miei tempi (mi sono diplomato nel '69 o giù di lì, non ricoro bene).
Allora non si facevano neanche gli insiemi e quando, al primo anno di fisica presi in mano il libro di algebra, quando capii per esempio che una relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano, fu per me come una illuminazione divina ...
Poi, la matematica la studiai come fosse un mero strumento, senza assaporarne l'essenza specifica (questo è l'errore che fanno molti fisici ...).
Oggi, liberatomi dalle implicazioni pratiche, posso approfondirne gli aspetti astratti e, veramente, ho cominciato ad entrare in un mondo che mi affascina e prende sempre più ...
Bye.
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo