Funzioni trascurabili
Salve a tutti.
Sto preparando l'esame di Analisi e mi sto esercitando sulle prove vecchie date dalla Prof.
In una di queste prove c'è la seguente domanda.
Stabilire se $e^(x^3)-\root(4)(1-x^4)+x^2\sin(x)$ è trascurabile rispetto a $x^2$ quando $x \to 0^+$.
Ora: io so che per stabilire se una funzione è trascurabile rispetto a un'altra devo fare il limite del loro rapporto e se ottengo 0, allora la prima è trascurabile rispetto alla seconda, altrimenti non lo è.
Però io qui ho un primo problema già nella definizione: cioè $x \to 0^+$. Va bene uguale? Non dovrebbe essere $x \to 0$?
Sto preparando l'esame di Analisi e mi sto esercitando sulle prove vecchie date dalla Prof.
In una di queste prove c'è la seguente domanda.
Stabilire se $e^(x^3)-\root(4)(1-x^4)+x^2\sin(x)$ è trascurabile rispetto a $x^2$ quando $x \to 0^+$.
Ora: io so che per stabilire se una funzione è trascurabile rispetto a un'altra devo fare il limite del loro rapporto e se ottengo 0, allora la prima è trascurabile rispetto alla seconda, altrimenti non lo è.
Però io qui ho un primo problema già nella definizione: cioè $x \to 0^+$. Va bene uguale? Non dovrebbe essere $x \to 0$?
Risposte
Ciao checkmate,
Benvenuto sul forum!
Beh, non c'è dubbio che si ha:
$\lim_{x \to 0^+} (e^(x^3)-\root(4)(1-x^4)+x^2\sin(x))/x^2 = \lim_{x \to 0^-} (e^(x^3)-\root(4)(1-x^4)+x^2\sin(x))/x^2 = 0 $
Pertanto si ha:
$\lim_{x \to 0} (e^(x^3)-\root(4)(1-x^4)+x^2\sin(x))/x^2 = 0 $
Benvenuto sul forum!
Beh, non c'è dubbio che si ha:
$\lim_{x \to 0^+} (e^(x^3)-\root(4)(1-x^4)+x^2\sin(x))/x^2 = \lim_{x \to 0^-} (e^(x^3)-\root(4)(1-x^4)+x^2\sin(x))/x^2 = 0 $
Pertanto si ha:
$\lim_{x \to 0} (e^(x^3)-\root(4)(1-x^4)+x^2\sin(x))/x^2 = 0 $
Ciao e grazie per la risposta.
La mia domanda è un'altra, evidentemente mi sono fatto capire male e chiedo scusa.
La mia domanda è: ha senso parlare di funzioni trascurabili per $x \to x_0^+$ oppure per $x \to x_0^-$? Cioè si definisce il concetto di funzione trascurabile anche per $x \to x_0^+$ oppure per $x \to x_0^-$? Esempio: la funzione $y = \sqrt{x}$ non è definita a sinistra di $0$, quindi i limiti per $x \to 0^-$ non si possono fare, si possono fare solo con $x \to 0^+$, conclusione la funzione $y=\sqrt{x}$ non è trascurabile rispetto a niente per $x \to 0$ e nemmeno per $x \to 0^+$ perché i limiti per $x \to 0^-$ non esistono proprio.
La mia domanda è un'altra, evidentemente mi sono fatto capire male e chiedo scusa.
La mia domanda è: ha senso parlare di funzioni trascurabili per $x \to x_0^+$ oppure per $x \to x_0^-$? Cioè si definisce il concetto di funzione trascurabile anche per $x \to x_0^+$ oppure per $x \to x_0^-$? Esempio: la funzione $y = \sqrt{x}$ non è definita a sinistra di $0$, quindi i limiti per $x \to 0^-$ non si possono fare, si possono fare solo con $x \to 0^+$, conclusione la funzione $y=\sqrt{x}$ non è trascurabile rispetto a niente per $x \to 0$ e nemmeno per $x \to 0^+$ perché i limiti per $x \to 0^-$ non esistono proprio.
Ciao.
Innanzitutto grazie per la risposta.
Credo però di non essermi fatto capire. La mia domanda è: il concetto di funzione trascurabile si definisce anche solo per $x \to 0^{+}$ o per $x \to 0^{-}$? Esempio: la funzione $y = \sqrt{x}$ non è definita a sinistra di $0$, quindi il limite per $x \to 0^{-}$ non esiste proprio, esiste solo quello per $x to 0^{+}$, quindi, conclusione, il concetto di "funzione trascurabile" per $y = \sqrt{x}$ non ha proprio senso. Non so se riesco a farmi capire...
Innanzitutto grazie per la risposta.
Credo però di non essermi fatto capire. La mia domanda è: il concetto di funzione trascurabile si definisce anche solo per $x \to 0^{+}$ o per $x \to 0^{-}$? Esempio: la funzione $y = \sqrt{x}$ non è definita a sinistra di $0$, quindi il limite per $x \to 0^{-}$ non esiste proprio, esiste solo quello per $x to 0^{+}$, quindi, conclusione, il concetto di "funzione trascurabile" per $y = \sqrt{x}$ non ha proprio senso. Non so se riesco a farmi capire...
Riguardo all'esempio $f(x)=\sqrt{x}$ che genera il tuo dubbio: cosa dice la definizione di limite? Leggila per bene e puoi risolvere il tuo dubbio da solo, secondo me (chiaramente, qualsiasi riflessione o conferma tu voglia puoi scriverla qui e saremo ben disposti a indirizzarti meglio se serve o a confermarti affermazioni corrette).
La funzione $y = \sqrt{x}$ ha dominio $x \ge 0$. Quindi il limite per $x \to 0^{-}$ non esiste. Quindi non esiste nemmeno il limite per $x \to 0$. Esiste solo il limite per $x \to 0^{+}$.
Fino a qui è giusto?
Adesso consideriamo la funzione $y = x$. Voglio stabilire se $y = x$ è trascurabile rispetto a $y = \sqrt{x}$. Devo andare a fare il limite di $\frac{x}{\sqrt{x}}$. A questo punto:
1. per $x \to 0^{-}$ la domanda non ha proprio senso dato che $\frac{x}{\sqrt{x}}$ a sinistra di $0$ non è definita, poiché a sinistra di $0$ non è definita $\sqrt{x}$;
2. dato che vale (1), la domanda non ha proprio senso nemmeno per $x \to 0$, perché il limite a sinistra non esiste;
3. la domanda potrebbe avere senso per $x \to 0^{+}$ perché qui il limite si può fare; lo faccio e $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{\sqrt{x}} = 0$.
Ora quello che io vorrei capire è questo: posso dire che una funzione è trascurabile rispetto a un'altra anche solo con un limite destro o sinistro oppure mi serve per forza sia il limite destro sia il limite sinistro? Ovvero: posso dire che $x$ è trascurabile rispetto a $\sqrt{x}$ per $x \to 0^{+}$ oppure devo fare per forza riferimento a $x \to 0$ e, quindi, devo concludere che il concetto di trascurabilità non ha proprio senso in questo caso in quanto $\sqrt{x}$ non è definita a sinistra di $0$?
Il tutto nasce dalla domanda posta nell'esercitazione: mi viene chiesto di stabilire se la funzione data è trascurabile per $x \to 0^{+}$ e a me sembra proprio sbagliata la domanda. Da quello che ho capito io la trascurabilità si definisce solo quando $x \to c$, non si parla proprio di trascurabilità quando $x \to c^{+}$ o $x \to c^{-}$.
Non so se riesco a farmi seguire...
Fino a qui è giusto?
Adesso consideriamo la funzione $y = x$. Voglio stabilire se $y = x$ è trascurabile rispetto a $y = \sqrt{x}$. Devo andare a fare il limite di $\frac{x}{\sqrt{x}}$. A questo punto:
1. per $x \to 0^{-}$ la domanda non ha proprio senso dato che $\frac{x}{\sqrt{x}}$ a sinistra di $0$ non è definita, poiché a sinistra di $0$ non è definita $\sqrt{x}$;
2. dato che vale (1), la domanda non ha proprio senso nemmeno per $x \to 0$, perché il limite a sinistra non esiste;
3. la domanda potrebbe avere senso per $x \to 0^{+}$ perché qui il limite si può fare; lo faccio e $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{\sqrt{x}} = 0$.
Ora quello che io vorrei capire è questo: posso dire che una funzione è trascurabile rispetto a un'altra anche solo con un limite destro o sinistro oppure mi serve per forza sia il limite destro sia il limite sinistro? Ovvero: posso dire che $x$ è trascurabile rispetto a $\sqrt{x}$ per $x \to 0^{+}$ oppure devo fare per forza riferimento a $x \to 0$ e, quindi, devo concludere che il concetto di trascurabilità non ha proprio senso in questo caso in quanto $\sqrt{x}$ non è definita a sinistra di $0$?
Il tutto nasce dalla domanda posta nell'esercitazione: mi viene chiesto di stabilire se la funzione data è trascurabile per $x \to 0^{+}$ e a me sembra proprio sbagliata la domanda. Da quello che ho capito io la trascurabilità si definisce solo quando $x \to c$, non si parla proprio di trascurabilità quando $x \to c^{+}$ o $x \to c^{-}$.
Non so se riesco a farmi seguire...
La cosa su cui volevo farti riflettere, è la seguente: la definizione di limite dà un vincolo ben preciso sui valori di $x$ che ci interessano; in particolare, viene richiesto "per ogni $\varepsilon>0$ esiste un $\delta_{\varepsilon}>0$ tale che per ogni $x \in \text{dom}(f) \cap (x_0-\delta_{\varepsilon},x_0+\delta_{\varepsilon}) \setminus \{x_0\}$" eccetera. Quindi, dato che devi intersecare il dominio di $f$ con un intorno bucato di $x_0$, non può avvenire che $x \to 0^-$ nel tuo caso. Perciò, in questi casi, il limite coincide col limite destro. Per questo ti avevo chiesto "cosa dice la definizione di limite?" invitandoti, forse troppo implicitamente, a riportarla qui (anche per capire se la conosci bene o no). Quindi, secondo me, la domanda ha senso perché la definizione di "funzione trascurabile", essendo sostanzialmente un limite, si adatta di caso in caso.
Ti esorto poi a evitare di dire "il limite non esiste" quando intendi dire che non ha senso calcolare un certo limite; è pericoloso, perché in matematica dire che "un limite non esiste" ha un significato ben preciso; ad esempio, si dice che non esiste
$$\lim_{x \to \infty} \cos x$$
eppure $f(x)=\cos x$ è definita in un intorno di $\infty$, essendo definita per ogni $x\in\mathbb{R}$.
Quindi, direi "non ha senso calcolare il limite per $x \to 0^-$ di $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x}}$ perché non è definita in un intorno sinistro di $0$".
Ti esorto poi a evitare di dire "il limite non esiste" quando intendi dire che non ha senso calcolare un certo limite; è pericoloso, perché in matematica dire che "un limite non esiste" ha un significato ben preciso; ad esempio, si dice che non esiste
$$\lim_{x \to \infty} \cos x$$
eppure $f(x)=\cos x$ è definita in un intorno di $\infty$, essendo definita per ogni $x\in\mathbb{R}$.
Quindi, direi "non ha senso calcolare il limite per $x \to 0^-$ di $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x}}$ perché non è definita in un intorno sinistro di $0$".
E allora consideriamo una funzione "strana" tipo questa:
$$f(x) = \begin{cases}
x^2 - 3 &\text{se } x <0\\
x^2 &\text{se } x \ge 0\end{cases}$$
Con questa funzione a me risulta che
$$\lim_{x \to 0^{-}}\frac{x^2 -3}{x} = + \infty\\
\lim_{x \to 0^{+}}\frac{x^2}{x} = 0$$
Quindi in questo caso come funziona? Posso dire che la mia $f(x)$ non è trascurabile rispetto a $y = x$ per $x \to 0^{-}$ mentre è trascurabile rispetto a $y = x$ per $x \to 0^{+}$? Cioè è trascurabile da un lato dello 0 ma non è trascurabile dall'altro lato dello 0?
$$f(x) = \begin{cases}
x^2 - 3 &\text{se } x <0\\
x^2 &\text{se } x \ge 0\end{cases}$$
Con questa funzione a me risulta che
$$\lim_{x \to 0^{-}}\frac{x^2 -3}{x} = + \infty\\
\lim_{x \to 0^{+}}\frac{x^2}{x} = 0$$
Quindi in questo caso come funziona? Posso dire che la mia $f(x)$ non è trascurabile rispetto a $y = x$ per $x \to 0^{-}$ mentre è trascurabile rispetto a $y = x$ per $x \to 0^{+}$? Cioè è trascurabile da un lato dello 0 ma non è trascurabile dall'altro lato dello 0?
Sì, mi sembra sensato che per la funzione definita a tratti la definizione valga a destra ma non a sinistra. Anche perché, la funzione che hai proposto all'inizio, ossia $f(x)=e^{x^3}-\root[4]{1-x^4}+x^2 \sin x$, non ha alcun problema quando la si divide per $x^2$, con $x \ne 0$, e si passa al limite per $x \to 0^-$; viene $0$ anche quello, quindi sembra proprio che fosse un esercizio per vedere se sai applicare la definizione di funzione trascurabile (anche se qui è richiesto solo il limite destro) e se sai calcolare un limite.
In ogni caso, capisco il dubbio: il limite per $x \to 0$ della funzione a tratti che hai proposto non esiste, in quanto i limiti destro e sinistro non coincidono; quindi, potresti giustamente chiederti come ci si comporta in questi casi, visto che la definizione che hai richiede il limite da entrambi i versi. Dipende dalla definizione che ti ha dato la tua docente di funzione trascurabile (che a me risulta non standard, non ne ho mai sentito parlare né vista sui vari libri di testo di analisi che ho letto; mi sembra un modo un po' insensato di evitare di introdurre i simboli di Landau, come "$\text{o}$-piccolo"). Dato che, in sostanza, questa definizione sembra un modo per capire il comportamento asintotico di funzioni in un intorno (destro, sinistro o completo che sia) di un punto senza introdurre i ben più noti simboli di Landau, secondo me ha perfettamente senso definirlo anche solo a destra o solo a sinistra di un punto.
Perciò, ti chiedo: potresti riportare qui la definizione precisa che hai ricevuto di funzione trascurabile, per favore? Possibilmente da un libro di testo che la docente ha consigliato per il corso o, meno preferibilmente, da appunti del corso stesso, grazie.
In ogni caso, capisco il dubbio: il limite per $x \to 0$ della funzione a tratti che hai proposto non esiste, in quanto i limiti destro e sinistro non coincidono; quindi, potresti giustamente chiederti come ci si comporta in questi casi, visto che la definizione che hai richiede il limite da entrambi i versi. Dipende dalla definizione che ti ha dato la tua docente di funzione trascurabile (che a me risulta non standard, non ne ho mai sentito parlare né vista sui vari libri di testo di analisi che ho letto; mi sembra un modo un po' insensato di evitare di introdurre i simboli di Landau, come "$\text{o}$-piccolo"). Dato che, in sostanza, questa definizione sembra un modo per capire il comportamento asintotico di funzioni in un intorno (destro, sinistro o completo che sia) di un punto senza introdurre i ben più noti simboli di Landau, secondo me ha perfettamente senso definirlo anche solo a destra o solo a sinistra di un punto.
Perciò, ti chiedo: potresti riportare qui la definizione precisa che hai ricevuto di funzione trascurabile, per favore? Possibilmente da un libro di testo che la docente ha consigliato per il corso o, meno preferibilmente, da appunti del corso stesso, grazie.
"Mephlip":La risposta è esattamente questa: la funzione non è trascurabile rispetto a x, perché non soddisfa la definizione di trascurabilità, la quale richiede che il limite del rapporto, prima di fare zero, esista.
In ogni caso, capisco il dubbio: il limite per x→0 della funzione a tratti che hai proposto non esiste
In ogni caso il punto è sempre quello: se non si ha ben presente che una funzione è il dato di tre cose -e cioè due insiemi e una legge che permette d associare gli elementi di uno di questi insiemi a quelli dell'altro-, e che i limiti sono limiti di funzioni, si finisce col solito far matematica da trogloditi.
Se \( A\subset \mathbb R \) e \( x\in \mathbb R \) e \( f\colon A\to \mathbb R \) è una funzione, ogni volta che \( x \) è di accumulazione per l'insieme \( A\cap ]x,+\infty[ \) si dice che un punto \( l^+\in \mathbb R \) è il "limite destro" della funzione \( f \) "al tendere di \( \xi \) a \( x \)" se
\[
\lim_{\xi\to x}f{\restriction_{A\cap]x,+\infty[}}(\xi) = l^+
\] dove \( f{\restriction_{A\cap]x,+\infty[}} \) è la restrizione di \( f \) all'insieme che sta a pedice (come al solito, qui la notazione "\( \lim[\cdots] = l^+ \)" è uno shorthand per "\(\forall \epsilon > 0 \)..."). @chackmate con questa definizione alle mani ti è più chiaro perché la faccenda dei limiti destri e sinistri centra poco con gli \( o \)-piccoli? Poi, plotta quella funzione, metti una mano sopra l'asse delle x < 0 (cioè, restringi il suo dominio), e poi fallo di nuovo coprendo l'altra parte di grafico.
La definizione di funzione trascurabile dovrebbe essere questa: se \( f\colon A\to \mathbb R \) è la funzione di prima, \( f \) è trascurabile rispetto a \( x\in \bar A \) se \( \lim f = 0 \) in \( x \) (l'ho detto in modo frettoloso, ma appunto ho fretta).
Comunque se non hai capito quello che ho detto chiedi pure, perché appunto la risposta è proprio questa e in caso cerco di spiegrami meglio.
Sono d'accordo con marco2132k, se la definizione data non è stata ristretta a limiti destro o sinistro certamente la funzione definita a tratti proposta da checkmate non è trascurabile rispetto a $x$ per $x \to 0$. Visto che la docente ha chiesto esplicitamente di discutere se la funzione proposta nel primo messaggio è trascurabile rispetto a $x^2$ per $x \to 0^+$, chiederei direttamente alla docente cosa intende o se si è sbagliata.
Quello che volevo dire è che quando si chiede di verificare robe "al tendere di \( x\to 0^+ \)", di solito si sta chiedendo di rifare l'esercizio usando invece che la funzione considerata in partenza la restrizione di suddetta funzione ai punti del dominio che stanno in \( ]x,+\infty[ \).
Comunque, secondome, op ha fatto bene a fare questa domanda e a fare il puntiglioso.
Comunque, secondome, op ha fatto bene a fare questa domanda e a fare il puntiglioso.
"checkmate":
Stabilire se $e^(x^3)-\root(4)(1-x^4)+x^2\sin(x)$ è trascurabile rispetto a $x^2$ quando $x \to 0^+$.
Ora: io so che per stabilire se una funzione è trascurabile rispetto a un'altra devo fare il limite del loro rapporto e se ottengo 0, allora la prima è trascurabile rispetto alla seconda, altrimenti non lo è.
Sai bene, ma alle volte è del tutto superfluo.
Nei casi di ordinaria amministrazione basta scrivere qualche termine dello sviluppo di Taylor/McLaurin per rendersi conto di ciò che succede.
Nel tuo caso:
$e^(x^3) = 1 + x^3 +"o"(x^3)$
$root(4)(1 - x^4) = 1 - 1/4 x^4 + "o"(x^4)$
$x^2 sin x = x^2 (x + "o"(x)) = x^3 + "o"(x^3)$
dunque:
$e^(x^3) - root(4)(1 - x^4) + x^2 sin x = 1 + x^3 +"o"(x^3) - 1 + 1/4 x^4 + "o"(x^4) + x^3 + "o"(x^3) = 2x^3 + "o"(x^3)$
e quindi la funzione non è infinitesima d'ordine superiore a $3$ in $0$, perché la sua parte principale è $2x^3$.
Domanda: Cosa cambierebbe se la funzione fosse $e^(x^3) - root(4)(1 - x^4) - x^2 sin x$?
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