Funzioni temperate
... il titolo è una contrazione del più corretto "funzioni che sono anche distribuzioni temperate". 
Oggi rivedevo la teoria della trasformata di Fourier in ambito distribuzionale e mi è venuta in mente una domanda. Se una funzione $f \in L_{"loc"}^1(RR)$ è anche una distribuzione temperata, è necessariamente a crescita lenta? ("A crescita lenta" sono quelle funzioni $f$ tali che $f=Pu$ per qualche polinomio $P$ e funzione sommabile $u$).
Oggi rivedevo la teoria della trasformata di Fourier in ambito distribuzionale e mi è venuta in mente una domanda. Se una funzione $f \in L_{"loc"}^1(RR)$ è anche una distribuzione temperata, è necessariamente a crescita lenta? ("A crescita lenta" sono quelle funzioni $f$ tali che $f=Pu$ per qualche polinomio $P$ e funzione sommabile $u$).
Risposte
Vediamo se si riesce a trovare qualche risposta più generica.
Indichiamo con [tex]\mathcal{S}[/tex] lo spazio di Schwartz su [tex]\mathbb{R}[/tex], e quindi con [tex]\mathcal{S}'[/tex] lo spazio delle distribuzioni temperate. Come caratterizzare in qualche modo "forte" (ovvero, non debole) la condizione [tex]u \in \mathcal{S}' \cap L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R})[/tex]? Si può dimostrare che questa condizione equivale a
[tex]$\forall \varphi_n \in \mathcal{C}^{\infty}_C(\mathbb{R})\ \mathrm{t.c.}\ \forall \alpha,\beta,\ \sup_{x \in \mathbb{R}} \lvert x^{\alpha}D^{\beta}\varphi_n(x) \rvert \to 0,\ \text{risulta che}\ \int_{\mathbb{R}}u(x)\varphi_n(x)\, dx \to 0[/tex]
e questo è quello che intendo quando parlo di "caratterizzazione debole". Riusciamo a trovare qualcosa di equivalente che riguardi direttamente [tex]u[/tex]?
Indichiamo con [tex]\mathcal{S}[/tex] lo spazio di Schwartz su [tex]\mathbb{R}[/tex], e quindi con [tex]\mathcal{S}'[/tex] lo spazio delle distribuzioni temperate. Come caratterizzare in qualche modo "forte" (ovvero, non debole) la condizione [tex]u \in \mathcal{S}' \cap L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R})[/tex]? Si può dimostrare che questa condizione equivale a
[tex]$\forall \varphi_n \in \mathcal{C}^{\infty}_C(\mathbb{R})\ \mathrm{t.c.}\ \forall \alpha,\beta,\ \sup_{x \in \mathbb{R}} \lvert x^{\alpha}D^{\beta}\varphi_n(x) \rvert \to 0,\ \text{risulta che}\ \int_{\mathbb{R}}u(x)\varphi_n(x)\, dx \to 0[/tex]
e questo è quello che intendo quando parlo di "caratterizzazione debole". Riusciamo a trovare qualcosa di equivalente che riguardi direttamente [tex]u[/tex]?
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