Funzioni tangenti

marco2132k
Ciao. Siano \( f,g\colon U\to\mathbb R^n \) due funzioni continue da un aperto \( U\subset\mathbb R^n \) nello spazio euclideo \( \mathbb R^n \). Diciamo che \( f \) e \( g \) sono tangenti nel punto \( \mathbf x_p \) di \( A \) se
\[
\lim_{\mathbf x\to \mathbf x_p}\frac{\lVert f(\mathbf x) - g(\mathbf x_p)\rVert}{\lVert \mathbf x - \mathbf x_p\rVert} = 0
\] Dovrebbe essere una definizione "fisica", ma per quanto ci abbia provato non riesco a figurarmela geometricamente. Come si fa?

Risposte
gugo82
Beh, è chiaro che una rappresentazione geometrica evidente non c'è, perché se $n >= 2$ i grafici di $f,g$ vivono in $RR^(2n)$.

Quel limite lì sembra una generalizzazione di quello che individua il piano tangente... Ma non so, pare che manchi qualcosa.

marco2132k
Credo ci siano due typo: 1) il primo "n" in \( U\subset \mathbb R^n \) dovrebbe essere in realtà un "\( m \)" (cioè non chiedo che le dimensioni dello spazio di partenza e dello spazio di arrivo coincidano); 2) forse \( g \) si mangia \( \mathbf x \) nel limite, e non \( \mathbf x_p \) (ma non ne sono sicuro).

gugo82
Per il typo, se non lo sai tu... Prova a vedere sul libro di riferimento.
(E sì, comunque, credo che ci sia $g(mathbf(x))$ nel limite...)

Per il resto, $m$ o $n$ poco cambia: gli unici casi in cui puoi sperare di visualizzare la cosa sono $m=2$ ed $n=1$ e vv. oppure $m=1=n$.

marco2132k
Comunque è vero che in \( \mathbb R \), con questa definizione (aggiustata: sì era \( \mathbf x \) e non \( \mathbf x_0 \)), le funzioni \( f \) e \( f(x_0) + f^\prime(x_0)(x - x_0) \) sono tangenti (e vale in generale se \( f \) è una funzione \( U\subset E\to F \) tra due Banach di derivata totale \( f^\prime \); è essenzialmente la definizione di derivata). Diciamo che così mi ha senso.

Io avevo provato a pensare a due curve \( [a,b]\to\mathbb R^2 \), ma boh. Vabbé, mi sa che non è molto importante...

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