Funzioni tangenti
Ciao. Siano \( f,g\colon U\to\mathbb R^n \) due funzioni continue da un aperto \( U\subset\mathbb R^n \) nello spazio euclideo \( \mathbb R^n \). Diciamo che \( f \) e \( g \) sono tangenti nel punto \( \mathbf x_p \) di \( A \) se
\[
\lim_{\mathbf x\to \mathbf x_p}\frac{\lVert f(\mathbf x) - g(\mathbf x_p)\rVert}{\lVert \mathbf x - \mathbf x_p\rVert} = 0
\] Dovrebbe essere una definizione "fisica", ma per quanto ci abbia provato non riesco a figurarmela geometricamente. Come si fa?
\[
\lim_{\mathbf x\to \mathbf x_p}\frac{\lVert f(\mathbf x) - g(\mathbf x_p)\rVert}{\lVert \mathbf x - \mathbf x_p\rVert} = 0
\] Dovrebbe essere una definizione "fisica", ma per quanto ci abbia provato non riesco a figurarmela geometricamente. Come si fa?
Risposte
Beh, è chiaro che una rappresentazione geometrica evidente non c'è, perché se $n >= 2$ i grafici di $f,g$ vivono in $RR^(2n)$.
Quel limite lì sembra una generalizzazione di quello che individua il piano tangente... Ma non so, pare che manchi qualcosa.
Quel limite lì sembra una generalizzazione di quello che individua il piano tangente... Ma non so, pare che manchi qualcosa.
Credo ci siano due typo: 1) il primo "n" in \( U\subset \mathbb R^n \) dovrebbe essere in realtà un "\( m \)" (cioè non chiedo che le dimensioni dello spazio di partenza e dello spazio di arrivo coincidano); 2) forse \( g \) si mangia \( \mathbf x \) nel limite, e non \( \mathbf x_p \) (ma non ne sono sicuro).
Per il typo, se non lo sai tu... Prova a vedere sul libro di riferimento.
(E sì, comunque, credo che ci sia $g(mathbf(x))$ nel limite...)
Per il resto, $m$ o $n$ poco cambia: gli unici casi in cui puoi sperare di visualizzare la cosa sono $m=2$ ed $n=1$ e vv. oppure $m=1=n$.
(E sì, comunque, credo che ci sia $g(mathbf(x))$ nel limite...)
Per il resto, $m$ o $n$ poco cambia: gli unici casi in cui puoi sperare di visualizzare la cosa sono $m=2$ ed $n=1$ e vv. oppure $m=1=n$.
Comunque è vero che in \( \mathbb R \), con questa definizione (aggiustata: sì era \( \mathbf x \) e non \( \mathbf x_0 \)), le funzioni \( f \) e \( f(x_0) + f^\prime(x_0)(x - x_0) \) sono tangenti (e vale in generale se \( f \) è una funzione \( U\subset E\to F \) tra due Banach di derivata totale \( f^\prime \); è essenzialmente la definizione di derivata). Diciamo che così mi ha senso.
Io avevo provato a pensare a due curve \( [a,b]\to\mathbb R^2 \), ma boh. Vabbé, mi sa che non è molto importante...
Io avevo provato a pensare a due curve \( [a,b]\to\mathbb R^2 \), ma boh. Vabbé, mi sa che non è molto importante...