Funzioni Subarmoniche classische

[CarloMASI1]

Ciao,
ho cominciato ora il corso di equazioni differenziali alle derivate parziali.
nella prima scheda di esercizi ci si chiede:
(ii) Dimostrare che una funzione subarmonica in R^2 \ (0, 0) e limitata dall’alto `e
costante.
(iii) Determinare una funzione subarmonica in R^2 \ (0, 0) limitata dal basso e non costante.
(iv) Determinare una funzione subarmonica in R^n, per n ≥ 3, limitata e non costante.

primo sospetto. punto iIi)
la funzione f(x,y)=x^2 mi sembra armonica e limitata dal basso in tutto R^2... allora perchè ha tolto lo (0,0) ?

ma ancor peggio
punto iii)

f(x_1,..., x_n)= arctg(|x|^2)
dove |x|=x_1^2+x_2^2+...+x_n^2(norma in R^n)
allora la derivata rispetto a x_i è
2x_i / (1+|x|^2)
e la derivata seconda rispetto a x_i è
(2+2|x|^2-4x_i^2)/(1+|x|^2)^2
infine il laplaciano è
(2n+2n|x|^2-4|x|^2)/(1+|x|^2)^2= (2n+|x|^2 (2n-4))/(1+|x|^2)^2
per ogni n>=2 questa ultima funzione è positiva, quindi f è subarmonica e anche limitata... il contraddice il primo teorema da dimostrare per esercizio

[gugo82]

Innanzitutto \(f(x,y):=x^2\) non è armonica, poichè \(\Delta f(x,y) = f_{xx}(x,y) =2\neq 0\).
Però \(-\Delta f(x,y)\leq 0\), quindi \(f\) è subarmonica e soddisfa la (iii).

Il gradiente di \(f(\mathbf{x}) := \arctan |\mathbf{x}|^2\) (con \(\mathbf{x}=(x_1,\ldots ,x_N) \in \mathbb{R}^N\)) è:
\[
\nabla f(\mathbf{x}) = \frac{2}{1+|\mathbf{x}|^4}\ \mathbf{x}
\]
cosicché:
\[
\begin{split}
\Delta f(\mathbf{x}) &= \sum_{n=1}^N \frac{2}{1+|\mathbf{x}|^4} - \frac{8x_n}{(1+|\mathbf{x}|^4)^2}\ |\mathbf{x}|^2\ x_n\\
&= \frac{2}{(1+|\mathbf{x}|^4)^2}\ \sum_{n=1}^N 1+|\mathbf{x}|^4 - 4 |\mathbf{x}|^2\ x_n^2\\
&= \frac{2}{(1+|\mathbf{x}|^4)^2}\ \Big( N (1+|\mathbf{x}|^4) - 4|\mathbf{x}|^4\Big)\\
&= \frac{2 (N + (N-4)|\mathbf{x}|^4)}{(1+|\mathbf{x}|^4)^2}
\end{split}
\]
e non mi pare subarmonica se \(N\leq 3\)... Ma bisogna controllare.

Per semplificarti i calcoli, ricorda che per le funzioni radiali, cioè per funzioni del tipo \(f(\mathbf{x}) := u(|\mathbf{x}|)\) con \(u:[0,\infty[\to \mathbb{R}\), vale la formula:
\[
\Delta f(\mathbf{x}) = \frac{N-1}{|\mathbf{x}|}\ u^\prime (|\mathbf{x}|) + u^{\prime \prime}(|\mathbf{x}|)\; ,
\]
in cui gli apici denotano derivata rispetto alla variabile da cui dipende \(u\).

[ludwigZero]

"gugo82":

Per semplificarti i calcoli, ricorda che per le funzioni radiali, cioè per funzioni del tipo \(f(\mathbf{x}) := u(|\mathbf{x}|)\) con \(u:[0,\infty[\to \mathbb{R}\), vale la formula:
\[
\Delta f(\mathbf{x}) = \frac{N-1}{|\mathbf{x}|}\ u^\prime (|\mathbf{x}|) + u^{\prime \prime}(|\mathbf{x}|)\; ,
\]
in cui gli apici denotano derivata rispetto alla variabile da cui dipende \(u\).

questo potrebbe essere un ''laplaciano'' per campi elettrici radiali?

[gugo82]

Senza il condizionale... I campi elettrici radiali sono funzioni radiali, quindi il laplaciano si calcola come ti ho scritto sopra (con $N=2$ o $N=3$, a seconda dei casi di campo nel piano o nello spazio).
Ma quella formula lì vale per ogni dimensione $N$.