Funzioni su $CC$
Trovare l'immagine della retta $y=x+4$ sotto l'applicazione $w=1/z$, con $z=x+iy$ e $w=u+iv$. Determinare se l'immagine sia una cerchio nel piano $w$. In caso affermativo, trovare raggio e centro del cerchio.
Risposte
Considerazioni di geometria analitica confermano che ogni retta o circonferenza nel piano possono essere rappresentate dalla equazione nella variabile complessa $z = x+iy$ ($z^** = x-iy$ , essendo $z^** $ il coniugato di $z $ ) :
$ alpha.z.z^** + beta.z +beta^**.z^** = 0 $
essendo : $alpha, gamma in RR ; beta in CC $; purchè sia : $ beta.beta^** > alpha.gamma $ ( esprime la realtà del raggio della crf.).
Se $ alpha ne 0 $ l'equazione definisce una crf.
Se $ alpha = 0 $ , definisce una retta .
Nel caso specifico di $ y = x+4 $ cioè $ x-y+4 = 0 $, l'equazione che rappresenta questa retta , in funzione della variabile complessa $z $, si trova essere, dopo qualche calcolo :
$(1/2)(1+i)z+(1/2)(1-i)z^** +4 = 0 $ , essendo quindi :
$ beta = (1/2)(1+i); beta^**=(1/2)(1-i); gamma = 4 $ e dunque una equazione appunto del tipo :
$ beta. z +(beta^* *).(z^**) +gamma = 0 $.
La trasformazione $ z rarr (1/z) $ comporta che la curva trasformata abbia equazione :
$beta /z + beta^**/z^** + gamma = 0 $ da cui :$ betaz^**+beta^**z +gamma z z^** = 0 $che nel caso nostro vale :
$(1/2)(1+i)(x-iy) +(1/2)(1-i)(x+iy)+4(x^2+y^2) = 0 $ da cui si ottiene :
$x^2+y^2 +x/4+y/4 = 0 $ che rappresenta una crf di centro $( -1/8; -1/8 ) $ e raggio = $ sqrt(2)/8 $.
$ alpha.z.z^** + beta.z +beta^**.z^** = 0 $
essendo : $alpha, gamma in RR ; beta in CC $; purchè sia : $ beta.beta^** > alpha.gamma $ ( esprime la realtà del raggio della crf.).
Se $ alpha ne 0 $ l'equazione definisce una crf.
Se $ alpha = 0 $ , definisce una retta .
Nel caso specifico di $ y = x+4 $ cioè $ x-y+4 = 0 $, l'equazione che rappresenta questa retta , in funzione della variabile complessa $z $, si trova essere, dopo qualche calcolo :
$(1/2)(1+i)z+(1/2)(1-i)z^** +4 = 0 $ , essendo quindi :
$ beta = (1/2)(1+i); beta^**=(1/2)(1-i); gamma = 4 $ e dunque una equazione appunto del tipo :
$ beta. z +(beta^* *).(z^**) +gamma = 0 $.
La trasformazione $ z rarr (1/z) $ comporta che la curva trasformata abbia equazione :
$beta /z + beta^**/z^** + gamma = 0 $ da cui :$ betaz^**+beta^**z +gamma z z^** = 0 $che nel caso nostro vale :
$(1/2)(1+i)(x-iy) +(1/2)(1-i)(x+iy)+4(x^2+y^2) = 0 $ da cui si ottiene :
$x^2+y^2 +x/4+y/4 = 0 $ che rappresenta una crf di centro $( -1/8; -1/8 ) $ e raggio = $ sqrt(2)/8 $.
Ritengo ci siano metodi più semplici per arrivare alla soluzione ; quello da me usato parte da principi molto generali e non è, forse di immediata e agevole comprensione.
Chi conoscesse metodi più semplici è invitato a proporli
.
Chi conoscesse metodi più semplici è invitato a proporli
.
Grazie, ho capito. Erano le varie manipolazioni che non riuscivo a fare.
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