Funzioni sommabili nel senso di Moore-Smith
Sto ponendo la questione un po' a tutti, in giro. Soltanto che nessuno riesce a rispondermi... 
Cito letteralmente dal J. Ringrose:
"Suppose that $f$ is a complex-valued function defined on a set $A$, $F$ is the class of all finite subsets of $A$ and $s(X) := \sum_{x \in X} f(x)$, whenever $X \in F$. Then $\sum_{a \in A} f(a)$ exists IF AND ONLY IF $\sum_{a \in A} |f(a)|$ exists."
Personalmente lo trovo senza senso! Mi piacerebbe tuttavia sentire il parere di qualcun altro, prima di scrivere all'autore.
EDIT.1: ci stava una "$a$", al posto di una "$x$". Mo' è corretto. Grazie a irenze per la sua segnalazione.
EDIT.2: avevo pure dimenticato di mettere qualche valore assoluto...
Cito letteralmente dal J. Ringrose:"Suppose that $f$ is a complex-valued function defined on a set $A$, $F$ is the class of all finite subsets of $A$ and $s(X) := \sum_{x \in X} f(x)$, whenever $X \in F$. Then $\sum_{a \in A} f(a)$ exists IF AND ONLY IF $\sum_{a \in A} |f(a)|$ exists."
Personalmente lo trovo senza senso! Mi piacerebbe tuttavia sentire il parere di qualcun altro, prima di scrivere all'autore.
EDIT.1: ci stava una "$a$", al posto di una "$x$". Mo' è corretto. Grazie a irenze per la sua segnalazione.
EDIT.2: avevo pure dimenticato di mettere qualche valore assoluto...
Risposte
DavidHilbert perkè perdi tempo nelle nuove definizioni di integrale, quanto ormai è consolidato l'integrale di Lebesgue?
"Attilio":
DavidHilbert perkè perdi tempo nelle nuove definizioni di integrale, quanto ormai è consolidato l'integrale di Lebesgue?
E dove li vedi tu gli integrali, scusa?!
Se non si fosse capito, qui si parla di "serie"...
Scusa ma nel PC dove scrivevo non venivano visualizzati i simboli.
Capisco...
Credo che ci sia qualche errore di stampa...
Immagino che sia
$s(X):=\sum_{x \in X} f(x)$
e
$\sum_{a \in A} f(a)$ exists if and only if $\sum_{x \in X} f(x)$ exists for every $X \in F$
o qualcosa del genere.
Prova a scrivere all'autore...
Immagino che sia
$s(X):=\sum_{x \in X} f(x)$
e
$\sum_{a \in A} f(a)$ exists if and only if $\sum_{x \in X} f(x)$ exists for every $X \in F$
o qualcosa del genere.
Prova a scrivere all'autore...
"irenze":
Credo che ci sia qualche errore di stampa...
Immagino che sia $s(X):=\sum_{x \in X} f(x)$
Sì, mea culpa - un typo! Per il resto...
"irenze":
$\sum_{a \in A} f(a)$ exists if and only if $\sum_{x \in X} f(x)$ exists for every $X \in F$
o qualcosa del genere.
Assolutamente no! Altrimenti ogni $f$ a valori in uno spazio di Banach (o più in generale in uno spazio topologico lineare continuo) sarebbe sommabile, visto che $\sum_{x \in X} f(x)$ esiste chiaramente per ogni $X \in F$, siccome gli elementi di $F$ sono sottoinsiemi finiti di $A$. Il punto è un altro: quel che non mi convince proprio è l'IF AND ONLY IF.
Capisco l'obiezione ma, scusa, le due quantità sono uguali!!!
Non c'è differenza tra sinistra e destra!
C'è scritto B esiste se e solo se B esiste... ci sarà un errore, no?
Non c'è differenza tra sinistra e destra!
C'è scritto B esiste se e solo se B esiste... ci sarà un errore, no?
"irenze":
Capisco l'obiezione ma, scusa, le due quantità sono uguali!!! Non c'è differenza tra sinistra e destra! C'è scritto B esiste se e solo se B esiste... ci sarà un errore, no?
D'oooh... Ho dimenticato pure un valore assoluto! Ricorreggo...
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