Funzioni sommabili - integrale lebesgue

[rita_esaurita]

buongiorno a tutti, ho qualche problema a capire gli esercizi sulla teoria della misura,anche perchè non riesco a trovare degli esercizi svolti quindi sto tentando di arrivarci da sola! Comunque, vi propongo un esercizio tipo per spiegarvi i miei dubbi:
Data la funzione $ f_n : (0, +∞) → \mathbb{R} $ tale che $fn(x)= 1/[\sqrt{x} (1+n^2 x^n) $ devo dire per quali $ n ≥ 1$ la funzione è sommabile e poi calcolare $ lim_{n→+∞} \int_0 ^{+∞} f_n(x)dx $.
Per la prima parte ho pensato che sostituendo $ n=1 $ l'ntegrale non converge, e quindi mi verrebbe da dire che è sommabile per $ n>1 $ anche se visto che i calcoli diventano impossibili forse è la strada sagliata. Per il secondo punto pensavo di usare il teorema di Beppo levi ma la funzione mi converge a zero e quindi non so che altro fare.Qualcuno potrebbe aiutarmi?

[gugo82]

"rita_esaurita":Data la funzione $ f_n : (0, +∞) → \mathbb{R} $ tale che $fn(x)= 1/[\sqrt{x} (1+n^2 x^n) $ devo dire per quali $ n ≥ 1$ la funzione è sommabile e poi calcolare $ lim_{n→+∞} \int_0 ^{+∞} f_n(x)dx $.
Per la prima parte ho pensato che sostituendo $ n=1 $ l'ntegrale non converge [...]

E perché mai?

"rita_esaurita":e quindi mi verrebbe da dire che è sommabile per $ n>1 $ anche se visto che i calcoli diventano impossibili forse è la strada sagliata.

Perché? Non mi dire che stai calcolando quegli integrali "a mano"...

"rita_esaurita":Per il secondo punto pensavo di usare il teorema di Beppo levi ma la funzione mi converge a zero e quindi non so che altro fare.Qualcuno potrebbe aiutarmi?

Il teorema di Beppo potrebbe funzionare... Ovviamente devi cercare di dimostrare che ne sono soddisfatte le ipotesi.
Altrimenti, c'è il teorema di Lebesgue.

[rita_esaurita]

Beh si li stavo tentando di calcolare "a mano", che altra possibilità ho? (sto messa proprio male)
Ma anche con teorema di Lebesgue devo tenere conto della convergenza in zero, o sto sbagliando i calcoli? Comunque le ipotesi per applicare Bebbo Levi mi sembran verificate: la funzione (supposto che sia sommabile) è crescente e ammette limite puntuale.

[gugo82]

Innanzitutto, ricorda che hai a che fare con funzioni continue in \(]0,\infty[\); pertanto l'integrale di Lebesgue coincide con quello improprio.
Dato che \(f_n(x)>0\) e che \(f_n(x)\sim \frac{1}{\sqrt{x}}\) per \(x\to 0^+\) ed \(f_n(x) \sim \frac{1}{n^2 x^{n+\frac{1}{2}}}\) per \(x\to \infty\), l'integrale improprio converge sia in \(0\) sia in \(\infty\) e le \(f_n\) sono sommabili in \(]0,\infty[\); pertanto tutte le \(f_n\) sono integrabili anche secondo Lebesgue.

Sul fatto che la convergenza sia monotòna rispetto ad \(n\) non ci giurerei... Hai provato a distinguere i casi \(0 Vedi un po'.

[rita_esaurita]

Ah è vero, converge solo per $ x>=1 $. Quindi, niente Beppo Levi. Però posso dire che converge quasi ovunque giusto? Per cui se trovo una funzione che maggiori $ fn$ posso applicare Lebesgue e dire che l limite è uguale a $ \int _{1} ^{+∞} \frac{1}{n^2 x^{n+\frac{1}{2}}} dx $ ?

[gugo82]

"rita_esaurita":Ah è vero, converge solo per $ x>=1 $.[...]

Mamma mia, quanta confusione... Ma i limiti di successioni (con un parametro, va'!) riesci a calcolarli?

Quanto vale, per fissato \(x>0\), il:
\[
\lim_{n\to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}\ (1+n^2x^n)}\; ?
\]
È roba da Analisi 0,5, nemmeno Analisi I...

[rita_esaurita]

Si ho notato che sono confusa ma il limite mi sembrava coretto...non fa $ 0 $ se $ x>=1 $ ? per $ 0

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[gugo82]

"rita_esaurita":Si ho notato che sono confusa ma il limite mi sembrava coretto...non fa $ 0 $ se $ x>=1 $ ? per $ 0
Mmmm... Dimostramelo, allora.
Fammi vedere i conti che hai fatto.