Funzioni singolari

[gugo82]

So che esistono funzioni \(u:[a,b]\to \mathbb{R}\) continue, crescenti o decrescenti, quindi derivabili q.o. (nel senso della misura di Lebesgue), le quali però hanno la derivata q.o. nulla: ad esempio, la funzione di Cantor.
Questo è un classico esempio di quelle che si chiamano funzioni singolari.

Se non erro, una funzione come quella descritta sopra non può stare in alcuno spazio di Sobolev.
Infatti ricordate le caratterizzazioni:

Una funzione \(u:\mathbb{R}\supseteq ]a,b[ \to \mathbb{R}\) è in \(W^{1,p} (]a,b[)\) (con \(1\leq p\leq \infty\)) se e solo se essa ha un rappresentante \(\bar{u}:]a,b[ \mathbb{R}\) assolutamente continuo in \(]a,b[\) la cui derivata classica \(\bar{u}^\prime\) (che esiste q.o.) sta in \(L^p(]a,b[)\)

Una funzione \(\bar{u}:]a,b[ \to \mathbb{R}\) è assolutamente continua in \(\Omega\) se e solo se 1) \(\bar{u}\) è continua, 2) \(\bar{u}\) è derivabile q.o. ed \(\bar{u}^\prime\in L^1(]a,b[)\) e 3) vale il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, i.e.:
\[
\bar{u}(x)=\bar{u}(x_0) +\int_{x_0}^x \bar{u}^\prime (t)\ \text{d} t\; .
\]

una funzione del tipo descritto sopra non può avere un rappresentante assolutamente continuo (ragiono così: se tale rappresentante esistesse, dovrebbe coincidere con \(u\); ma allora \(u\) dovrebbe soddisfare il TFCI, cosa che è falsa perché \(u(y)-u(x)\neq 0 =\int_x^y u^\prime\) per \(a
Ora, supposto che tutto quello che ho detto sia giusto, mi chiedevo: cosa succede in dimensione maggiore?
Cioè, una funzione di Sobolev in dimensione \(N\geq 2\) deve sempre essere non-singolare?
Oppure ci sono situazioni, dipendenti dalla regolarità del dominio, in cui funzioni singolari sono anche di Sobolev?

Ad esempio, se prendo \(c:[0,1]\to \mathbb{R}\) di Cantor e considero \(u: B(o;1)\ni x\mapsto c(|x|)\in \mathbb{R}\) questa funzione è singolare? E sta in qualche spazio di Sobolev?

A quanto ne so, le funzioni di Sobolev in dimensione \(N\geq 2\) sono assolutamente continue sulle linee, il che vuol dire che se considero le restrizioni di tali funzioni a quasi tutte le rette parallele agli assi che intersecano il loro dominio, tali restrizioni sono assolutamente continue come funzioni di una variabile.
Ma ciò non so se può essere d'aiuto...

[Rigel1]

Non so se ho capito bene la domanda (penso di no, visto che sto per scrivere cose che sicuramente già sai).
In generale, se hai una funzione \(u\in L^1_{loc}(\Omega)\), puoi definire la sua derivata distribuzionale \(Du\).
Se sei fortunato, cioè se \(u\) è una distribuzione di ordine \(0\), \(Du\in L^1_{loc}(\Omega)^N\) e dunque \(u\in W^{1,1}_{loc}\).
Se sei un po' meno fortunato, \(Du\) è una misura di Radon, dunque \(u\in BV_{loc}\).
Poi puoi essere ancora meno fortunato, ma per ora non ci interessa.

Rimaniamo nel caso \(BV_{loc}\), in cui la derivata \(Du\) è una misura di Radon. In generale puoi scrivere la decomposizione in parte assolutamente continua rispetto alla misura di Lebesgue \(\mathcal{L}^N\) e singolare,
\[ Du = (Du)^a \mathcal{L}^N + (Du)^s \]
con \((Du)^a \in L^1_{loc}\). Se \((Du)^s = 0\), allora \(u\in W^{1,1}_{loc}\); puoi quindi vedere le funzioni di questo spazio di Sobolev come le funzioni \(BV\) la cui derivata (misura) ha parte singolare nulla.

[gugo82]

E fin qui c'ero, Rigel.

Il mio problema era legato ad una questione che ho trovato in diverse salse ma mai spiegata nei dettagli; la questione è la seguente.
Diciamo che ho una funzione \(u\in W_0^{1,p}(\Omega)\) la quale è pure continua e limitata, i.e. \(u\in C(\Omega)\cap L^\infty (\Omega)\) (perché essa è soluzione di un problema di Dirichlet per una PDE ellittica "decente") , e voglio far vedere che l'insieme:
\[
S:=u^{-1}(\inf_\Omega u, \sup_\Omega u)\cap \{|\nabla u |=0\} = \left\{ x\in \Omega:\ \inf_\Omega u< u(x)< \sup_\Omega u\ \text{ e }\ |\nabla u(x)| =0\right\}
\]
ha misura nulla.
Se le cose funzionassero "bene" (i.e. come con le funzioni \(C^1\)), direi:

1 supponiamo per assurdo che \(|S|>0\);
2 in tale ipotesi esiste un aperto \(\omega \subseteq \Omega\) di misura positiva contenuto in \(S\) tale che \(|\nabla u |=0\) in \(\omega \);
3 allora \(u\) ha un "pianerottolo" in \(\omega\) (corrispondente ad un livello \(u_0\));
4 ma usando l'equazione si vede che ciò non è possibile, cioè che \(u\) non può essere costante in un aperto di misura positiva;
5 quindi assurdo e \(|S|=0\).

Chiaramente, però, per una funzione di Sobolev il \(|\nabla u|\) esiste al massimo q.o.; quindi se la funzione è singolare il passo 2 ed il passo 3 non funzionano.

Quindi c'è qualcosa che mi sfugge... Suggerimenti?

[Rigel1]

Dove hai trovato cose di questo tipo?

Così su due piedi non mi viene in mente niente; riporto solo qualche osservazione.

1) Per dare senso al problema devi sapere a priori che \(u\in W^{1,p}\) con \( p > n\), altrimenti \(u\) potrebbe non essere differenziabile q.o. (si può comunque prendere il differenziale approssimato).

2) Esiste una proprietà tipo Luzin (che però farebbe saltare il punto 4) del tuo schema):

Sia \(u\in W^{1,1}(\mathbb{R}^n)\). Allora, per ogni \(a>0\) esiste una funzione \(v\in C^1(\mathbb{R}^n)\) tale che
\[\|v\|_{1,\infty} \leq a,\quad
\|v\|_{1,1}\leq C \|u\|_{1,1},\quad
|\{u\neq v\}| \leq \frac{C}{a} \|u\|_{1,1}.
\]

3) Può darsi che l'argomento usato per il tuo punto 4) possa essere adattato ai punti di densità dell'insieme \(S\), usando magari la disuguaglianza di Sobolev-Poincaré.

[gugo82]

Mmmm... Allora probabilmente non è una cosa generale, ma dipende dal setting particolare in cui sono.

Spiego meglio. Il problema nasce in connessione col problema di cui parlavo qui, ma nel caso radiale cioè quando \(\Omega \) è una palla e i coefficienti \(c,\rho\) sono funzioni radiali, rispettivamente, una crescente e l'altra decrescente.
Allora il problema ha un'autofunzione radiale decrescente (questo è facile) associata al primo autovalore; tale autofunzione è \(\geq 0\), limitata ed holderiana in \(\Omega\) (per Serrin).

Esaminiamo il caso in cui \(c=0,\ \rho =1\), ossia il problema del primo autovalore per il \(p\)-laplaciano con condizioni di Dirichlet nella palla \(\Omega\):
\[
\tag{1}
\begin{cases}
-\operatorname{div} (|\nabla u|^{p-1}\ \nabla u) =\lambda_1\ |u|^{p-1} u &\text{, in } \Omega =B(o;R)\\
u=0 &\text{, su } \partial \Omega\; .
\end{cases}
\]
Prendiamo un'autofunzione radiale \(u(x)=\phi (|x|)\): la funzione \(\phi (r)\) (decrescente, nonnegativa, continua) soddisfa in forma debole il problema del secondo ordine:
\[
\begin{cases}
(r^{N-1}\ (-\phi^\prime)^p)^\prime =\lambda_1\ r^{N-1}\ \phi^p &\text{, in ]0,R[}\\
\phi (R)=0
\end{cases}
\]
ove \(R\) è il raggio di \(\Omega\) e sta in \(W^{1,p}(]0,R[; r^{N-1})\), perché:
\[
\infty >\int_\Omega |\nabla u|^p\ \text{d} x \propto \int_0^R |\phi^\prime|^p\ r^{N-1}\ \text{d} r
\]
(o è una mia illazione?!?).
Ora trovo scritto:

Visto che \(u(x)=\phi (|x|)\) è una soluzione di (1) implica che:
\[
\Big| \{ x\in \Omega :\ 0 \]
etc...

ma, alla luce di quello che mi hai scritto, non riesco a capire perché.

Ora, potrebbe essere che in questo caso le autofunzioni sono più regolari di quel che sembrano? (Ad esempio, per un risultato di regolarità tipo quello di di Benedetto citato nell'altro post?)
Oppure ciò ha a che fare col fatto che \(u\) è radiale, e quindi ha qualche proprietà in più che non vedo?

[Rigel1]

Tieni conto che non conosco bene queste cose, quindi prendi tutto con beneficio d'inventario.
Nel caso radiale, la funzione \(\psi(r) := r^{N-1} (-\phi'(r))^p\) è strettamente monotona crescente (è localmente assolutamente continua con derivata strettamente positiva q.o. su \((0,R)\)). Visto che è anche \(\geq 0\), l'insieme in questione sembrerebbe addirittura vuoto (a meno che non vi si vogliano aggiungere anche i punti in cui \(u\) non è differenziabile).

[gugo82]

Scusa se riesumo dopo tanto tempo, Rigel, ma sono stato preso da altri problemi.

Se ho capito bene, la faccenda funziona così.
La mia funzione \(r^{N-1}\ (-\phi^\prime (r))^p\) ha la derivata prima debole q.o. coincidente con una funzione continua in \([0,R]\), i.e. \(\lambda_1\ r^{N-1}\ \phi (r)\); dato che \(\lambda_1\ r^{N-1}\ \phi (r)\) è limitata (perché continua in un compatto), allora la \(r^{N-1}\ (-\phi^\prime (r))^p\) è lipschitziana e dunque è uniformemente continua in \([0,R]\).

Però adesso non capisco perché mai l'insieme "singolare" \(S:=\{ x\in \Omega :\ 0

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[Rigel1]

Se non ho visto male la derivata della \(\psi\) è strettamente positiva.