Funzioni semicontinue
perchè è lecito permettere alle funzioni semicontinue superiormente di assumere il valore $-\infty$ ?
grazie per la risposta
grazie per la risposta
Risposte
Perché spesso risulta comodo.
Le proprietà principali di una funzione s.c.s. riguardano la chiusura dell'ipografico e l'esistenza di punti di massimo nei compatti.
Se tu hai una funzione s.c.s. $f: C\to \mathbb{R}$ definita in un sottoinsieme chiuso $C$ di uno spazio metrico $X$, puoi considerare una sua estensione
$g:X\to \mathbb{R}\cup\{-\infty\}$ ponendo $g(x) = -\infty$ per ogni $x\in X\setminus C$.
Le proprietà di chiusura dell'ipografico e di esistenza di massimo sui compatti rimangono invariate, e hai il vantaggio che $g$ è definita su tutto lo spazio ambiente.
Le proprietà principali di una funzione s.c.s. riguardano la chiusura dell'ipografico e l'esistenza di punti di massimo nei compatti.
Se tu hai una funzione s.c.s. $f: C\to \mathbb{R}$ definita in un sottoinsieme chiuso $C$ di uno spazio metrico $X$, puoi considerare una sua estensione
$g:X\to \mathbb{R}\cup\{-\infty\}$ ponendo $g(x) = -\infty$ per ogni $x\in X\setminus C$.
Le proprietà di chiusura dell'ipografico e di esistenza di massimo sui compatti rimangono invariate, e hai il vantaggio che $g$ è definita su tutto lo spazio ambiente.
Quanto trovo brutto l'uso dell'aggettivo "lecito" in matematica. Perché non dovrebbe essere lecito dare una definizione di semicontinuità per funzioni a valori in $[-infty, infty)$? Non mi risulta siano previste multe o pene detentive per una cosa del genere.
Comunque, a parte questa mia opinione notazionale, è comodo permettere alle funzioni SCS (semicontinue superiormente) di assumere valore $-infty$ perché tali funzioni verificano "mezzo" teorema di Weierstrass: una funzione SCS in un compatto è dotata di massimo. Questo chiaramente non è inficiato dal fatto che la funzione assuma valori negativi infinitamente grandi in modulo ($-infty$). Diverso sarebbe se consentissi $+infty$. In quel caso il teorema di Weierstrass si svuoterebbe: si, data una funzione SCS in un compatto tu sapresti che assume massimo, ma chi ti può garantire che tale massimo non sia, banalmente, $+infty$?
Comunque, a parte questa mia opinione notazionale, è comodo permettere alle funzioni SCS (semicontinue superiormente) di assumere valore $-infty$ perché tali funzioni verificano "mezzo" teorema di Weierstrass: una funzione SCS in un compatto è dotata di massimo. Questo chiaramente non è inficiato dal fatto che la funzione assuma valori negativi infinitamente grandi in modulo ($-infty$). Diverso sarebbe se consentissi $+infty$. In quel caso il teorema di Weierstrass si svuoterebbe: si, data una funzione SCS in un compatto tu sapresti che assume massimo, ma chi ti può garantire che tale massimo non sia, banalmente, $+infty$?
Perdonatemi ma non sono affatto soddisfatto delle vostre risposte. 
1) Perchè risulta comodo non è una risposta. Chiaramente lo si fa perchè risulta comodo. quello che vorrei sapere è come non si violi la definizione.
Cosa succede una volta fatto non è sicuramente l'argomento di questo topic.
2) La parola "lecito" era lì appunto per evitare risposte coma la tua dissonance:
<>
Sono io che ti/vi sto chiedendo perchè le definizioni continuano a funzionare.
E' lecito lasciare che funzioni continue ammettano $-\infty$ ? non credo proprio, quindi gusti personali apparte, la mia domanda è perfettamente formulata.
Un grazie a chi altro dirà la sua
1) Perchè risulta comodo non è una risposta. Chiaramente lo si fa perchè risulta comodo. quello che vorrei sapere è come non si violi la definizione.
Cosa succede una volta fatto non è sicuramente l'argomento di questo topic.
2) La parola "lecito" era lì appunto per evitare risposte coma la tua dissonance:
<
Sono io che ti/vi sto chiedendo perchè le definizioni continuano a funzionare.
E' lecito lasciare che funzioni continue ammettano $-\infty$ ? non credo proprio, quindi gusti personali apparte, la mia domanda è perfettamente formulata.
Un grazie a chi altro dirà la sua
Non ho capito cosa ti sconvolge del fatto che si usi $\mathbb{R}\cup{-\infty}$ al posto di $\mathbb{R}$ come spazio di arrivo per le funzioni.
L'insieme $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R}\cup\{-\infty, +\infty\}$ è perfettamente legittimato ad essere spazio di arrivo, visto che può essere munito di metrica (e dunque di topologia).
Inoltre, "perché risulta comodo" è una risposta.
In matematica puoi fare le cose come ti risulta più comodo (a livello notazionale o tecnico o quello che ti pare).
L'insieme $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R}\cup\{-\infty, +\infty\}$ è perfettamente legittimato ad essere spazio di arrivo, visto che può essere munito di metrica (e dunque di topologia).
Inoltre, "perché risulta comodo" è una risposta.
In matematica puoi fare le cose come ti risulta più comodo (a livello notazionale o tecnico o quello che ti pare).
"Rigel":
Non ho capito cosa ti sconvolge del fatto che si usi $\mathbb{R}\cup{-\infty}$ al posto di $\mathbb{R}$ come spazio di arrivo per le funzioni.
L'insieme $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R}\cup\{-\infty, +\infty\}$ è perfettamente legittimato ad essere spazio di arrivo, visto che può essere munito di metrica (e dunque di topologia).
Inoltre, "perché risulta comodo" è una risposta.
In matematica puoi fare le cose come ti risulta più comodo (a livello notazionale o tecnico o quello che ti pare).
Ahimè scrivendo in grassetto non diventa una risposta o meglio non alla mia domanda. Per la cronaca puoi fare quello che ti pare finchè le definizioni continuano a valere.
Mi è chiaro che non hai capito; se è così easy per te perchè non permetti anche alle tue funzioni continue di valere $-\infty$ per valori interni all'intervallo di definizione no?..
"uruz_7":
Mi è chiaro che non hai capito; se è così easy per te perchè non permetti anche alle tue funzioni continue di valere -∞ per valori interni all'intervallo di definizione no?..
E infatti si può perfettamente fare questo. L'insieme $[-infty, infty]$ è dotato di una topologia in modo standard, quindi ha pienamente senso parlare di "funzioni continue" definite su uno spazio topologico $X$ e a valori in $[-infty, infty]$.
Ma certo se tu sei qui solo per polemizzare, come si evince dalle tue risposte piccate, non riceverai mai soddisfazione.
Allora: siamo partiti con il piede sbagliato!
le mie risposte sono piccate perchè ho trovato (magari sbagliando) aria di sufficienza nelle vostre.
so benissimo che x^3 è continua e può essere estesa ad una continua in $\overline{\R}$. ma chiaramente 1/x non è continua in 0 visto che la definizione viene meno.
la mia domanda è: perchè la definizione di funzione semicontinua superiormente continua a valere anche se la funzione può assumere il valore $-\infty$?
una funzione che vale 1/x per x < 0 e logx per x > 0 dovrebbe essere semicontinua superiormente in tutto $\R$ se non sbaglio.. posso chiedervi perchè senza sentirmi parlare di weiestrass?
grazie.
le mie risposte sono piccate perchè ho trovato (magari sbagliando) aria di sufficienza nelle vostre.
so benissimo che x^3 è continua e può essere estesa ad una continua in $\overline{\R}$. ma chiaramente 1/x non è continua in 0 visto che la definizione viene meno.
la mia domanda è: perchè la definizione di funzione semicontinua superiormente continua a valere anche se la funzione può assumere il valore $-\infty$?
una funzione che vale 1/x per x < 0 e logx per x > 0 dovrebbe essere semicontinua superiormente in tutto $\R$ se non sbaglio.. posso chiedervi perchè senza sentirmi parlare di weiestrass?
grazie.
OT
Sono solo io che leggo invalid-markup evidenziato in rosso nelle vostre risposte?
Sono solo io che leggo invalid-markup evidenziato in rosso nelle vostre risposte?
"uruz_7":
Allora: siamo partiti con il piede sbagliato!
le mie risposte sono piccate perchè ho trovato (magari sbagliando) aria di sufficienza nelle vostre.
Non capisco a cosa si riferisca "l'aria di sufficienza" nella mia risposta precedente.
Ti ho detto "è comodo" e ti ho spiegato, per quanto ne so, il motivo.
una funzione che vale 1/x per x < 0 e logx per x > 0 dovrebbe essere semicontinua superiormente in tutto $\R$ se non sbaglio..
Immagino tu stia supponendo che valga $-\infty$ per $x=0$.
In tal caso basta la definizione: $u(x) \ge "limsup"_{y\to x} u(y)$ vale per tale funzione anche per $x=0$, visto che ambo i membri valgono $-\infty$.
(Naturalmente su $\overline{\mathbb{R}}$ si utilizza l'ovvia relazione d'ordine per la quale $-\infty\le x$ e $+\infty\ge x$ per ogni $x\in\mathbb{R}$.)
mi sarebbe stato bene se avessi aggiunto anche la cosa che hai scritto qui sotto... quella risponde, quella sopra no.
se invece definisco una funzione che vale costantemente 1 tranne in 0 dove vale $-\infty$? cosa succede alla definizione in 0?
se invece definisco una funzione che vale costantemente 1 tranne in 0 dove vale $-\infty$? cosa succede alla definizione in 0?
"uruz_7":
mi sarebbe stato bene se avessi aggiunto anche la cosa che hai scritto qui sotto... quella risponde, quella sopra no.
Quella sopra ti dice perché vale la pena usare una definizione del genere, quella sotto è una questione puramente tecnica. Questione di gusti, evidentemente.
se invece definisco una funzione che vale costantemente 1 tranne in 0 dove vale $-\infty$? cosa succede alla definizione in 0?
Vedi subito:
$"limsup"_{y\to 0} u(y) = 1$, mentre $u(0) = -\infty$, quindi la funzione non è s.c.s. nell'origine.
Una funzione è s.c.i. se [tex]$f(x)\leq \liminf_{y\to x} f(y)$[/tex]; visto che se [tex]$f(x)=-\infty$[/tex] la precedente è certamente vera, allora è possibile scegliere di far prendere ad [tex]$f$[/tex] il valore [tex]$-\infty$[/tex].
Lo stesso non si può dire di [tex]$+\infty$[/tex], perchè se [tex]$f(x)=+\infty$[/tex] allora la definizione diventa problematica da verificare.
Lo stesso non si può dire di [tex]$+\infty$[/tex], perchè se [tex]$f(x)=+\infty$[/tex] allora la definizione diventa problematica da verificare.
"Rigel":
Quella sopra ti dice perché vale la pena usare una definizione del genere, quella sotto è una questione puramente tecnica. Questione di gusti, evidentemente.
dai, non è questione di gusti, sono questioni completamente diverse..
gugo, si fa esattamente il contrario anche se concordo con te è controintuivo.. rigel quello che dicevi tu ora è perfetto per far cambiare idea a gugo..
concludiamo qualcosa per favore:
perchè quella definita a tratti con 1/x e logx è semicontinua superiormente e quella costantemente 1 tranne che in un punto no? qual è il problema della seconda? perchè vogliamo escludere la seconda? [il massimo ce l'ha in ogni compatto..]
Il "problema" della seconda è che non ha l'ipografico chiuso, quindi, per definizione, non è s.c.s.
Ci sono un sacco di funzioni che ammettono massimo su ogni compatto, pur non avendo alcuna proprietà di regolarità.
Prendi un qualsiasi insieme $A\subset\mathbb{R}$ (ad esempio i numeri razionali), e definisci una funzione che valga $1$ in $A$ e $0$ in $\mathbb{R}\setminus A$. Questa funzione ha massimo in ogni compatto (anzi, in ogni insieme non vuoto).
Ci sono un sacco di funzioni che ammettono massimo su ogni compatto, pur non avendo alcuna proprietà di regolarità.
Prendi un qualsiasi insieme $A\subset\mathbb{R}$ (ad esempio i numeri razionali), e definisci una funzione che valga $1$ in $A$ e $0$ in $\mathbb{R}\setminus A$. Questa funzione ha massimo in ogni compatto (anzi, in ogni insieme non vuoto).
ora però rigel mi fai piangere!!!
è chiaro che per definizione non è semicontinua.. il mio problema è perchè alcune si ed altre no quando apparentemente non sono così brutte rispetto alle altre..
ancora una volta:
cosa voglio escludere dando definizioni per cui la prima è scs mentre la seconda no? cosa diamine c'è di così patologico nella seconda? nel senso:
vedo un grafico liscissimo tutto bellissimo dico tranquillamente che è continua.
se invece vedo un grafico liscissimo eccetto che per qualche punto in cui la funzione vale $-\infty$ devo farmi i limiti.. non concludo immediatamente che è scs mentre invece mi piacerebbe poter fare una cosa del genere..
[ti ringrazio dell'esempio ma non c'entra niente.. ]
è chiaro che per definizione non è semicontinua.. il mio problema è perchè alcune si ed altre no quando apparentemente non sono così brutte rispetto alle altre..
ancora una volta:
cosa voglio escludere dando definizioni per cui la prima è scs mentre la seconda no? cosa diamine c'è di così patologico nella seconda? nel senso:
vedo un grafico liscissimo tutto bellissimo dico tranquillamente che è continua.
se invece vedo un grafico liscissimo eccetto che per qualche punto in cui la funzione vale $-\infty$ devo farmi i limiti.. non concludo immediatamente che è scs mentre invece mi piacerebbe poter fare una cosa del genere..
[ti ringrazio dell'esempio ma non c'entra niente..
]
"uruz_7":
cosa voglio escludere dando definizioni per cui la prima è scs mentre la seconda no?
Mi sembrava di avertelo spiegato: la prima ha ipografico chiuso, la seconda no.
Ciò non è direttamente correlato con quanto è liscio il grafico.
@tutti: Scusate se ho detto una cavolata, ma ho pochissime ore di sonno sul groppone...
Mo' vado a letto, byes.
Mo' vado a letto, byes.
cos'è un ipografico?
Se $f:X\to\overline{\mathbb{R}}$, è l'insieme $\{(x,y)\in X\times\mathbb{R}: x\in X, y\le f(x)\}$.
"uruz_7":
.
.
se invece vedo un grafico liscissimo eccetto che per qualche punto in cui la funzione vale $-\infty$ devo farmi i limiti.. ]
Forse vale la pena di mettere in evidenza che se $f$ è semicontinua superiormente essa è automaticamente continua nei punti in cui fa $-\infty$.
Infatti il suo limsup deve essere minore o eguale a $-\infty$ per cui essa tende a $-\infty$ "tout court" - se ciò non avviene la funzione non è s.c.s
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