Funzioni razionali

[Aethelmyth]

Ciao a tutti, volevo chiedere il vostro parere sul rigore del procedimento che sto per elencare:

Siano $P(x)$ e $G(x)$ due polinomi a radici reali di grado $n$ e $m$ rispettivamente, con $n Ora per ottenere i valori $A_i$ è sufficiente moltiplicare ambo i membri per $G(x)$ e fare i dovuti conti in un sistema (mostruoso per $n$ grande). Il procedimento che pensavo io, invece, era:

-Moltiplico ambo i membri per $(x-x_i)$ in modo da ottenere $(P(x))/(prod_(k!=i)(x-x_k)) = A_i + sum_(k!=i) A_k(x-x_i)/(x-x_k)$. In seguito faccio il limite di entrambi i membri per $x$ che tende a $x_i$ e quindi mi rimane $A_i=(P(x_i))/(prod_(k!=i)(x_i-x_k))$ che è facilmente risolvibile. Questo $AA i$ tale che $1<=i<=m$.

Nel dettaglio, il ragionamento del limite è lecito? Può esser reso più rigoroso il procedimento?
Grazie.

Simone

[dissonance]

penso che sia necessario supporre che G si spezza... no? adesso verifico

[Aethelmyth]

Si, supponiamo che tutte le radici di $G(x)$ abbiano molteplicità 1 ... anche se dovrebbe andar bene uguale, con qualche correzione.
Comunque fondamentalmente mi interessa la questione del limite.

[elgiovo]

Quelli che vai cercando sono i cosiddetti "residui" di $F(x)=(P(x))/(G(x))$ nei "poli" di $F(x)$, che sono poi gli zeri di $G(x)$. Nel caso di radici con molteplicità $1$ di $G(x)$ ("poli semplici") vale il tuo ragionamento, che viene generalizzato al caso di "poli multipli", ovvero di radici con molteplicità $q_j>=2$ di $G(x)$, nel seguente modo: $F(x)=(P(x))/(G(x))=sum_(j=1)^m sum_(k=1)^(q_j) (A_(jk))/((x-x_j)^k)$. I residui si calcolano così: $A_(jk)=lim_(x to x_j){1/((q_j-k)!) (d/(dx))^(q_j-k)[(x-x_j)^(q_j) (P(x))/(G(x))]}$.

[dissonance]

Secondo me è corretto. Perché ti sembra poco rigoroso?
Se il problema è che non vorresti usare i limiti, penso che si possa trovare una giustificazione puramente algebrica della questione... bisogna rifletterci un po' però Il vantaggio è, penso, che così otterremmo un metodo valido per campi qualsiasi e non solo per polinomi a coefficienti reali.