Funzioni periodiche e circonferenza unitaria

[wide87]

Ave piccoli Cauchy!
Qualcuno saprebbe per caso indicarmi dove potrei trovare una buona spiegazione chiara e formale circa l'identificazione delle funzioni continue periodiche e le funzioni definite sul (bordo del) disco unitario centrato nell'origine complessa?? Che nel seguito è chiamato $T$
In che modo il passaggio dal considerare lo spazio delle funzioni periodiche continue in $[-pi,pi]$ al considerare le funzioni di $L^2(T)$ (la cui "appartenenza" a questo spazio è sancita dal requisito di finitezza quasi ovunque) perdo il requisito di periodicità? Oppure perdo semplicemente il requisito di CONTIUITA' ? (Me lo spiegherei meglio in tal caso).
Come potete notare ho le idee un po' confuse in merito.
Io faccio riferimento al W.RUDIN - "Real and Complex Analysis" pagina 88.
Vi ringrazio in ogni caso!

[dissonance]

Dire "una funzione è \(T\)-periodica" oppure dire "una funzione è definita sulla circonferenza di raggio \(T/ 2 \pi\)" è proprio la stessa cosa. La seconda formulazione però è più semplice da visualizzare e mette bene in luce la particolare simmetria dell'insieme di definizione, oltre che la sua compattezza. Le identificazioni sono ovvie e Rudin, col suo solito stile super-sintetico, non ci perde tempo. Se proprio vuoi dettagli consulta questo pdf di Garrett, Functions on circles:

http://www.math.umn.edu/~garrett/m/mfms ... obolev.pdf

a pagina 6 si entra in maggiore dettaglio in questa identificazione.

[wide87]

Non mi torna però l'intervento di $L^2$.
Continuerò a chiarire! Se ti viene in mente un flash che possa darmi una chiave di lettura, sono qui!
GRAZIE MILLE!

[dissonance]

Ma per quello non c'entra la circonferenza. Un grosso problema dell'analisi armonica è che non tutte le funzioni continue hanno serie di Fourier convergente. Per questo l'analisi armonica in uno spazio di funzioni continue è molto più complicata del previsto. Tuttavia Hilbert si è reso conto che una analisi simile, ma condotta nello spazio delle funzioni quadraticamente integrabili, è estremamente più semplice e chiara. Ecco perché oggi si comincia lo studio dallo spazio \(L^2\). Il processo è spiegato molto bene sul primo volume del Reed & Simon (Methods of modern mathematical physics, 1980), pagg. 48-49: riporto un piccolo stralcio qui.

This theorem shows that the "natural" notion of convergence for Fourier series is \(L^2\)-convergence and illustrates one of the basic principles of functional analysis: namely, to choose an abstract space and a notion of convergence that is appropriate to the problem at hand, a space in which one can prove nice theorems. By doing this one avoids some hard problems: this has both advantages and disadvantages.

[wide87]

Vedo che sei di Bari.. Ci conosciamo o sbaglio?
Comunque a me manca giusto un dettaglio formale..purtroppo è un cavillo..tutte le info che mi stai dando sono ottime..anzi..mi sto pure svarionando
COnsigli per l'esame di Jannelli-D'ambros?
Un abbraccio