Funzioni periodiche
Salve,
per quanto riguarda il concetto di FUNZIONI PERIODICHE
spiegato ad esempio su questa pagina:
http://www.batmath.it/matematica/fondamenti/periodiche/periodiche.htm
Come loro stessi dicono si trovano in giro, anche sui libri di testo di Liceo, diversi strafalcioni.
Un'affermazione che ho trovato sul libro di testo di Liceo di mio figlio e che loro stessi danno verso la fine della pagina è quella del punto 3) :
3) Se si hanno due funzioni periodiche con lo stesso periodo T, allora le funzioni somma, prodotto, quoziente, hanno periodo minore o uguale al periodo comune T.
Però esistono due controesempi che contraddicono quest'affermazione e che loro stessi danno:
Le funzioni f(x) = sin x e g(x) = 1 - sin x sono entrambe periodiche di periodo 2π. La loro somma è però la funzione costante h(x) = 1 che, come osservato più sopra, non ha un minimo periodo e quindi non viene considerata periodica. Un esempio simile si può costruire con le funzioni f(x) = (sinx)^2 e g(x) = (cosx)^2, la cui somma è 1.
Dunque,
in base questi 2 controesempi,
possiamo dire che quella regola del punto 3) non è vera
e che quindi, a quanto pare, loro stessi sono caduti in uno strafalcione,
altrimenti come fanno a coesistere quella regola con quei 2 esempi ?
saluti
per quanto riguarda il concetto di FUNZIONI PERIODICHE
spiegato ad esempio su questa pagina:
http://www.batmath.it/matematica/fondamenti/periodiche/periodiche.htm
Come loro stessi dicono si trovano in giro, anche sui libri di testo di Liceo, diversi strafalcioni.
Un'affermazione che ho trovato sul libro di testo di Liceo di mio figlio e che loro stessi danno verso la fine della pagina è quella del punto 3) :
3) Se si hanno due funzioni periodiche con lo stesso periodo T, allora le funzioni somma, prodotto, quoziente, hanno periodo minore o uguale al periodo comune T.
Però esistono due controesempi che contraddicono quest'affermazione e che loro stessi danno:
Le funzioni f(x) = sin x e g(x) = 1 - sin x sono entrambe periodiche di periodo 2π. La loro somma è però la funzione costante h(x) = 1 che, come osservato più sopra, non ha un minimo periodo e quindi non viene considerata periodica. Un esempio simile si può costruire con le funzioni f(x) = (sinx)^2 e g(x) = (cosx)^2, la cui somma è 1.
Dunque,
in base questi 2 controesempi,
possiamo dire che quella regola del punto 3) non è vera
e che quindi, a quanto pare, loro stessi sono caduti in uno strafalcione,
altrimenti come fanno a coesistere quella regola con quei 2 esempi ?
saluti
Risposte
Secondo me non è uno strafalcione, nel vero senso della parola. È vero che una funzione costante, di solito, non è considerata periodica, ma guardando la definizione di funzione periodica non puoi dire che una funzione costante non lo sia, in qualunque periodo tu voglia considerare.
Francesco_68, a te non la si fa, eh?
Fortuna che ci sei tu che controlli i libri di testo e ne scopri gli errori pacchiani
Prendiamo per comodità una funzione reale di variabile reale definita su tutto $RR$, $f:RRtoRR$. Così non ci incartiamo con "insiemi di definizione" stralunati, ma non cambierebbe niente, neh!
La funzione $f$ si dice(*) periodica se esiste un numero reale $T$, con $T>0$, t.c. $f(x)=f(x+T)$ per ogni $x in RR$
DIMOSTRIAMO che se due funzioni, $f$ e $g$, sono periodiche con periodo $T$, allora $f+g$ è periodica di periodo $T$
Anzi, no, la dimostrazione è talmente scema che sarebbe offensivo per il lettore se la scrivessi.
Noto che $T<=T$, per cui l'affermazione del libraccio di testo è corretta.
A questo punto mi fa strano pensare che si possa trovare un controesempio. Però, se la matematica fosse contraddittoria ce la famo
(*) "si dice" nel senso che questa è l'unica definizione di funzione periodica che qualunque matematico usa
Fortuna che ci sei tu che controlli i libri di testo e ne scopri gli errori pacchiani
Prendiamo per comodità una funzione reale di variabile reale definita su tutto $RR$, $f:RRtoRR$. Così non ci incartiamo con "insiemi di definizione" stralunati, ma non cambierebbe niente, neh!
La funzione $f$ si dice(*) periodica se esiste un numero reale $T$, con $T>0$, t.c. $f(x)=f(x+T)$ per ogni $x in RR$
DIMOSTRIAMO che se due funzioni, $f$ e $g$, sono periodiche con periodo $T$, allora $f+g$ è periodica di periodo $T$
Anzi, no, la dimostrazione è talmente scema che sarebbe offensivo per il lettore se la scrivessi.
Noto che $T<=T$, per cui l'affermazione del libraccio di testo è corretta.
A questo punto mi fa strano pensare che si possa trovare un controesempio. Però, se la matematica fosse contraddittoria ce la famo
(*) "si dice" nel senso che questa è l'unica definizione di funzione periodica che qualunque matematico usa
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