Funzioni pari e dispari
Salve a tutta la comunità e, data l'occasione, auguri per un sereno 2008.
Dunque, ecco il quesito.
Mi sono imbattuto in un testo di esercizi per l'analisi di Fourier. In uno di questi si richiede di determinare i coefficienti della serie di Fourier per un segnale che gli elettronici conoscono molto bene: si tratta del segnale a dente di sega.
Il segnale, periodico (di periodo T) e definito nel dominio del tempo da $-oo$ a $+oo$, assume la seguente forma analitica:
$f(t)=t/T$
per:
$0
Il segnale è unipolare: ovvero assume sempre lo stesso segno (positivo).
Se lo si vuole immaginare si pensi ad un segnale che nell'origine vale 0, che cresce linearmente fino al valore 1 per t=T e poi scende a 0 verticalmente (discontinuità) per poi tornare a ripetersi (è comunque scomponibile secondo Fouriere in quanto soddisfa le condizioni di Dirichlet).
Quello che non mi torna è che l'autore considera tale segnale (funzione) di tipo dispari e, coerentemente con tale ipotesi, calcola solo i coefficienti $B_k$ in quanto gli $A_k$ sono tutti nulli. Ma tale segnale non rispetta la condizione di disparità:
$f(t)=-f(-t)$
Oppure sono io che prendo un abbaglio?
(Aggiungo che tale segnale si può rendere dispari abbattendolo di una quantità costante e pari a 0,5. Ma, come credo sia evidente, lo sviluppo in serie viene a cambiare rispetto al caso precedente).
Dunque, ecco il quesito.
Mi sono imbattuto in un testo di esercizi per l'analisi di Fourier. In uno di questi si richiede di determinare i coefficienti della serie di Fourier per un segnale che gli elettronici conoscono molto bene: si tratta del segnale a dente di sega.
Il segnale, periodico (di periodo T) e definito nel dominio del tempo da $-oo$ a $+oo$, assume la seguente forma analitica:
$f(t)=t/T$
per:
$0
Il segnale è unipolare: ovvero assume sempre lo stesso segno (positivo).
Se lo si vuole immaginare si pensi ad un segnale che nell'origine vale 0, che cresce linearmente fino al valore 1 per t=T e poi scende a 0 verticalmente (discontinuità) per poi tornare a ripetersi (è comunque scomponibile secondo Fouriere in quanto soddisfa le condizioni di Dirichlet).
Quello che non mi torna è che l'autore considera tale segnale (funzione) di tipo dispari e, coerentemente con tale ipotesi, calcola solo i coefficienti $B_k$ in quanto gli $A_k$ sono tutti nulli. Ma tale segnale non rispetta la condizione di disparità:
$f(t)=-f(-t)$
Oppure sono io che prendo un abbaglio?
(Aggiungo che tale segnale si può rendere dispari abbattendolo di una quantità costante e pari a 0,5. Ma, come credo sia evidente, lo sviluppo in serie viene a cambiare rispetto al caso precedente).
Risposte
Come giustamente affermi, il segnale può essere reso dispari sottraendo $1/2$, ed è proprio questa la strategia,
ovvero calcolare la serie di Fourier del segnale abbattuto e poi aggiungere $1/2$.
Un semplice calcolo lo può confermare: se $f_0(t)$ è la funzione dente di sega tra $-T/2$ e $T/2$ e $0$ altrove,
allora la sua trasformata di Fourier vale
$F_0(omega)=ccF[f_0(t)]=int_(-T/2)^0(1+t/T)e^(-j omega t)dt+int_(0)^(T/2)t/Te^(-j omega t)dt=sin((omega T)/2)/omega+j[1/omega-(2sin((omega T)/2))/(Tomega^2)]$.
Quindi la serie di Fourier si scrive $f(t)=sum_(n=-oo)^(+oo) (F_0((2 pi n)/T))/T e^((2 pi j n)/T)$, che è una serie di seni, come ci si aspettava.
Il contributo per $n=0$ è, guarda caso, $lim_(n to 0) (F_0((2 pi n)/T))/T=1/2$.
ovvero calcolare la serie di Fourier del segnale abbattuto e poi aggiungere $1/2$.
Un semplice calcolo lo può confermare: se $f_0(t)$ è la funzione dente di sega tra $-T/2$ e $T/2$ e $0$ altrove,
allora la sua trasformata di Fourier vale
$F_0(omega)=ccF[f_0(t)]=int_(-T/2)^0(1+t/T)e^(-j omega t)dt+int_(0)^(T/2)t/Te^(-j omega t)dt=sin((omega T)/2)/omega+j[1/omega-(2sin((omega T)/2))/(Tomega^2)]$.
Quindi la serie di Fourier si scrive $f(t)=sum_(n=-oo)^(+oo) (F_0((2 pi n)/T))/T e^((2 pi j n)/T)$, che è una serie di seni, come ci si aspettava.
Il contributo per $n=0$ è, guarda caso, $lim_(n to 0) (F_0((2 pi n)/T))/T=1/2$.
Scusa, non capisco.
Abbattendo la funzione questa dovrebbe diventare, tra -T/2 e 0:
$f(t)=1/2+t/T$
e tra 0 e T/2:
$f(t)=-1/2+t/T$
Oppure mi sbaglio io?
Grazie.
Abbattendo la funzione questa dovrebbe diventare, tra -T/2 e 0:
$f(t)=1/2+t/T$
e tra 0 e T/2:
$f(t)=-1/2+t/T$
Oppure mi sbaglio io?
Grazie.
No, non sbagli. Il conto che ho fatto io è sul segnale non abbattuto, per farti vedere che calcolando direttamente la serie di Fourier
questa risulta comunque costituita da soli seni. Il calcolo si può benissimo rifare abbattendo la funzione, calcolandone la serie
e aggiungendo $1/2$ al risultato finale.
questa risulta comunque costituita da soli seni. Il calcolo si può benissimo rifare abbattendo la funzione, calcolandone la serie
e aggiungendo $1/2$ al risultato finale.
Ho capito.
In realtà io uso la forma cartesiana ed il sospetto avevo cominciato ad averlo quando, calcolando i coefficienti $A_k$ questi mi risultavano tutti nulli.
Infatti:
$A_k=2/Tint_0^T t/Tcoskomegatdt=
quindi, usando il metodo di integrazione per parti,
$A_k=2/T^2[(tsinkomegat)/(komega) + (coskomegat)/(k^2omega^2)]_0^T$
e, infine, sostituendo gli estremi di integrazione trovavo, inaspettatamente, un risultato nullo.
Inaspettatamente in quanto, non trattandosi di una funzione dispari, non avrei dovuto ottenere i coefficienti $A_k$ nulli (almeno in generale ed escludendo un caso fortuito!).
Al che cominciavo anche a nutrire qualche dubbio sulla correttezza del calcolo dell'integrale...
La tua risposta, e ti ringrazio, mi ha invece rassicurato che il procedimento seguito era corretto.
Ora, e questa è la parte più difficile, dovrò cercare di riflettere su tutta la faccenda.
In realtà io uso la forma cartesiana ed il sospetto avevo cominciato ad averlo quando, calcolando i coefficienti $A_k$ questi mi risultavano tutti nulli.
Infatti:
$A_k=2/Tint_0^T t/Tcoskomegatdt=
quindi, usando il metodo di integrazione per parti,
$A_k=2/T^2[(tsinkomegat)/(komega) + (coskomegat)/(k^2omega^2)]_0^T$
e, infine, sostituendo gli estremi di integrazione trovavo, inaspettatamente, un risultato nullo.
Inaspettatamente in quanto, non trattandosi di una funzione dispari, non avrei dovuto ottenere i coefficienti $A_k$ nulli (almeno in generale ed escludendo un caso fortuito!).
Al che cominciavo anche a nutrire qualche dubbio sulla correttezza del calcolo dell'integrale...
La tua risposta, e ti ringrazio, mi ha invece rassicurato che il procedimento seguito era corretto.
Ora, e questa è la parte più difficile, dovrò cercare di riflettere su tutta la faccenda.
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