Funzioni pari e dispari

[Meomatrix]

Buonasera ragazzi,
ho un problema nel valutare se una funzione è pari o dispari per quanto riguarda un esercizio sulle serie di Fourier.
Generalmente un funzione è pari se
$f(x)=f(-x)$
è dispari se:
$f(x)=-f(-x)$

Ora nel caso in immagine mi chiedo come faccio a verificare questo concetto.. perché $-x^2$ è dispari mentre $x^2$ è pari... Quindi $g(x)$ sarà pari, o dispari?

Grazie!

[4mrkv]

Effettua la sostituzione \(x=-y\) quindi \(-x^{2}=-(-y)^{2}=-y^{2}\) quindi \(f(-x)=f(x)\), oppure sostituisci \(x=-x\) e basta ma magari ti confonde.

[Meomatrix]

Grazie della risposta. Hai detto bene.
Esaminando meglio ho detto una cavolata. $-x^2$ è pari.
Quello che non capisco però è se $g(x)$ possiamo definirla pari/dispari, solo quando entrambe sono o pari o dispari.

Dato $g(x) ={(-x^2,if -pi<=x<0),(x^2,if 0<=x
Help!

[4mrkv]

Devi applicare la definizione alla lettera. Prendi le varie parti in cui è diviso il dominio e su ogni parte testa il risultato dell'applicazione di \(f(-x)\). Se ogni pezzetto è pari allora la funzione è pari, se ogni pezzetto è dispari allora la funzione è dispari. Può anche non essere nessuna delle due.

[Meomatrix]

In questo caso però il libro dice che è dispari D:

[rino6999]

e infatti è dispari
se prendi $0leqx

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[Riccardo Desimini]

Un altro modo per vederlo è, in questo caso semplice, attraverso un grafico: si vede facilmente che il grafico di \( g \) è simmetrico rispetto all'origine e quindi \( g \) è dispari.

[4mrkv]

"Meomatrix":In questo caso però il libro dice che è dispari D:

Ti ho confuso. In ogni pezzetto la funzione \(g(x)\) deve essere pari, non devi fare la prova su \(g_{0}(x)\) e \(g_{1}(x)\) da cui è composta. Infatti la definizione recita: per ogni \(x \in D\) vale \(g(-x)=g(x)\) o \(-g(x)\). Prendi \(x \in [0,\pi)\), \(g(x)=x^{2}\), \(-x\in (-\pi,0)\) (dato che \(x\) è fissato a \(x \in [0,\pi)\)!) quindi \(g(-x)=-x^{2}\) e \(g(-x)=-x^{2}=-g(x)\).

"4mrkv":Devi applicare la definizione alla lettera. Prendi le varie parti in cui è diviso il dominio e su ogni parte testa il risultato dell'applicazione di \(f(-x)\). Se in ogni pezzetto è pari allora la funzione è pari, se in ogni pezzetto è dispari allora la funzione è dispari. Può anche non essere nessuna delle due.

[Meomatrix]

Grazie a tutti!