Funzioni olomorfe (esercizio teorico)
Credo che questo esercizio sia sbagliato...
Dimostrare che se $f: CC -> CC$ è olomorfa non costante tale che $f circ f = f$ allora è la funzione identica.
Forse mi sfugge qualcosa, ma $f(z)=-z$ è olomorfa e non costante e verifica le ipotesi, eppure non è la funzione identica..
Dimostrare che se $f: CC -> CC$ è olomorfa non costante tale che $f circ f = f$ allora è la funzione identica.
Forse mi sfugge qualcosa, ma $f(z)=-z$ è olomorfa e non costante e verifica le ipotesi, eppure non è la funzione identica..
Risposte
E no. $f(f(z))=f(-z)=z=-f(z)$. Quindi $fcirc f= -f$, non $f circ f=f$. Sbaglio?
No, non sbagli...mi son confuso con $f \circ f = id$
Va be...allora l'esercizio dovrebbe esser corretto...
Va be...allora l'esercizio dovrebbe esser corretto...
Poi se trovi la soluzione postala qua che mi sono incuriosito.
Niente...Non ci arrivo...
L'unica cosa che mi è venuta in mente è derivare la relazione
$ f(z)=f(f(z)) $
ottenendo
$f'(z)=f'(f(z))f'(z)$
Ma non so se porta da qualche parte....
Gli altri risultati non mi sembra siano utili (disuguaglianze di Cauchy, Liouvile, ecc)
L'unica cosa che mi è venuta in mente è derivare la relazione
$ f(z)=f(f(z)) $
ottenendo
$f'(z)=f'(f(z))f'(z)$
Ma non so se porta da qualche parte....
Gli altri risultati non mi sembra siano utili (disuguaglianze di Cauchy, Liouvile, ecc)
Geometricamente il risultato è chiaro. Una funzione olomorfa, localmente, si comporta come una rotazione composta con una dilatazione (amplitwist direbbe Needham). E' questa l'informazione che ti forniscono le condizioni di Cauchy-Riemann. Ora, quale rotodilatazione $R$ può avere la proprietà $R R = R$? Nessuna, o meglio, solo una: l'identità. Si tratta adesso di risalire da questa proprietà locale alla proprietà globale richiesta dal problema.
In parole povere: dacci dentro con le condizioni di Cauchy-Riemann! Ah, "allora" si scrive tutto attaccato.
In parole povere: dacci dentro con le condizioni di Cauchy-Riemann! Ah, "allora" si scrive tutto attaccato.
Bisogna aggiustare un pò il tutto: [tex]$f'(z)=f'(f(z))f'(z)\Rightarrow f'(f(z))=1$[/tex] e forse da ciò risalire a [tex]$f=\mathrm{id}_{\mathbb{C}}$[/tex]!
P.S.: L'ho scritto coi piedi e me ne vergogno, ma fa caldo, ho sonno e mi fa male la testa! -_- Ammesso che non sia tutto errato.
P.S.: L'ho scritto coi piedi e me ne vergogno, ma fa caldo, ho sonno e mi fa male la testa! -_- Ammesso che non sia tutto errato.
L'esercizio non l'ho finito, però una mezza idea m'era venuta e l'ho un po' abbozzata.
***
Se aggiungiamo un'ipotesi, la tesi riesce facile (con un po' di conti sulle serie di potenze): infatti vale il seguente:
***
Se non ho sbagliato nulla, l'unica cosa che si deve fare per terminare è dimostrare che [tex]$f(0)=0$[/tex] segue dalle altre ipotesi poste su [tex]$f(z)$[/tex] (in particolare da [tex]$f\circ f(z)=f(z)$[/tex] ed [tex]$f(z)$[/tex] non costante).
Non sono riuscito a cavare granché su questo punto, quindi provo a dire dove sono arrivato.
Per assurdo, supponiamo che [tex]$f(0)\neq 0$[/tex]; abbiamo [tex]$f(z)=f(0)+\sum_{n=1}^{+\infty} a_n z^n$[/tex] per l'olomorfia, quindi l'ipotesi [tex]$f\circ f(0)=f(0)$[/tex] implica:
[tex]$f(0)+\sum_{n=1}^{+\infty} a_n [f(0)]^n =f(0)$[/tex]
ossia:
[tex]$f(0)\ \sum_{n=0}^{+\infty} a_{n+1}[f(0)]^n =0$[/tex];
conseguentemente la funzione [tex]$\phi (z)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n+1}z^n$[/tex] ha uno zero in [tex]$f(0)\neq 0$[/tex]... Ora vorrei concludere che [tex]$f(0)$[/tex] è uno zero d'ordine infinito per [tex]$\phi (z)$[/tex], in modo da arrivare a [tex]$\phi (z)=0$[/tex] ed alla contraddizione [tex]$f(z)=f(0)$[/tex] intorno a [tex]$0$[/tex] (e quindi ovunque), però non sono ancora riuscito a vedere come fare.
***
Se aggiungiamo un'ipotesi, la tesi riesce facile (con un po' di conti sulle serie di potenze): infatti vale il seguente:
Lemma
Se [tex]$f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$[/tex] è olomorfa, [tex]$f\circ f(z)=f(z)$[/tex] in [tex]$\mathbb{C}$[/tex] e se [tex]$f(0)=0$[/tex], allora [tex]$f(z)=z$[/tex].
***
Se non ho sbagliato nulla, l'unica cosa che si deve fare per terminare è dimostrare che [tex]$f(0)=0$[/tex] segue dalle altre ipotesi poste su [tex]$f(z)$[/tex] (in particolare da [tex]$f\circ f(z)=f(z)$[/tex] ed [tex]$f(z)$[/tex] non costante).
Non sono riuscito a cavare granché su questo punto, quindi provo a dire dove sono arrivato.
Per assurdo, supponiamo che [tex]$f(0)\neq 0$[/tex]; abbiamo [tex]$f(z)=f(0)+\sum_{n=1}^{+\infty} a_n z^n$[/tex] per l'olomorfia, quindi l'ipotesi [tex]$f\circ f(0)=f(0)$[/tex] implica:
[tex]$f(0)+\sum_{n=1}^{+\infty} a_n [f(0)]^n =f(0)$[/tex]
ossia:
[tex]$f(0)\ \sum_{n=0}^{+\infty} a_{n+1}[f(0)]^n =0$[/tex];
conseguentemente la funzione [tex]$\phi (z)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n+1}z^n$[/tex] ha uno zero in [tex]$f(0)\neq 0$[/tex]... Ora vorrei concludere che [tex]$f(0)$[/tex] è uno zero d'ordine infinito per [tex]$\phi (z)$[/tex], in modo da arrivare a [tex]$\phi (z)=0$[/tex] ed alla contraddizione [tex]$f(z)=f(0)$[/tex] intorno a [tex]$0$[/tex] (e quindi ovunque), però non sono ancora riuscito a vedere come fare.
Io arrivo allo stesso punto morto di Gugo con il metodo geometrico che dicevo più su.
[EDIT]No, scusate ragazzi questa cosa è sbagliata. La lascio ma c'è un errore irreparabile.
Se consideriamo $f:CC to CC$ come una trasformazione differenziabile di $RR^2$ in sé, le condizioni di Cauchy-Riemann ci dicono che la matrice Jacobiana di $f$ deve necessariamente avere questa forma:
$Jf=[[a, -b], [b, a]]$
per scalari reali $a, b$. Con la sostituzione
${(rho=sqrt(a^2+b^2)), (cos theta= a/(sqrt(a^2+b^2))), (sin theta= b/(sqrt(a^2+b^2))):}$
tale matrice si riscrive
$Jf=rho[[cos theta, -sin theta], [sin theta, cos theta]]$.
L'ipotesi $f circ f =f $ implica che $JfJf=Jf$ e quindi
$rho^2[[cos(2theta), sin(2theta)], [-sin(2theta), cos (2theta)]]=rho[[cos theta, -sin theta], [sin theta, cos theta]]$
il che è possibile solo se $rho=0$ oppure $rho=1, theta=0$. Siccome $f$ non è costante la prima possibilità è da scartare. Abbiamo così concluso che $Jf=I$, ovvero che $f'(z)=1$.
Resta da dimostrare che $f$ ha almeno un punto fisso.
[EDIT]No, scusate ragazzi questa cosa è sbagliata. La lascio ma c'è un errore irreparabile.
Se consideriamo $f:CC to CC$ come una trasformazione differenziabile di $RR^2$ in sé, le condizioni di Cauchy-Riemann ci dicono che la matrice Jacobiana di $f$ deve necessariamente avere questa forma:
$Jf=[[a, -b], [b, a]]$
per scalari reali $a, b$. Con la sostituzione
${(rho=sqrt(a^2+b^2)), (cos theta= a/(sqrt(a^2+b^2))), (sin theta= b/(sqrt(a^2+b^2))):}$
tale matrice si riscrive
$Jf=rho[[cos theta, -sin theta], [sin theta, cos theta]]$.
L'ipotesi $f circ f =f $ implica che $JfJf=Jf$ e quindi
$rho^2[[cos(2theta), sin(2theta)], [-sin(2theta), cos (2theta)]]=rho[[cos theta, -sin theta], [sin theta, cos theta]]$
il che è possibile solo se $rho=0$ oppure $rho=1, theta=0$. Siccome $f$ non è costante la prima possibilità è da scartare. Abbiamo così concluso che $Jf=I$, ovvero che $f'(z)=1$.
Resta da dimostrare che $f$ ha almeno un punto fisso.
@j18eos: ci ho pensato anch'io ma non credo sia così facile (a meno di aggiungere almeno due ipotesi forti)
@ dissonance: si sul discorso geometrico ci ho perso un po di tempo anch'io, ma appunto passare dal locale al globale non mi sembra facile, ad ogni modo: dov'è l'errore in quello che hai scritto?
@gugo82:
Non mi è chiarissimo...per principio di identità delle funzioni analitiche ti riferisci ad un teorema chiamato anche proncipio del prolungamento analitico? Io ne conosco una formulazione leggermente diversa, ad ogmi modo mi sembra che tu dica date due funzioni analitiche $f,g$, se queste coincidono in un intorno di un punto allora coincidono dappertutto...Giusto?
Per il resto la dimostrazione del lemma mi sembra corretta e probabilmente è così che andava fatto l'esercizio, sulla questione $f(0)=0$ proprio non ho idea di come mostrare che discende dalle ipotesi...
@ dissonance: si sul discorso geometrico ci ho perso un po di tempo anch'io, ma appunto passare dal locale al globale non mi sembra facile, ad ogni modo: dov'è l'errore in quello che hai scritto?
@gugo82:
"gugo82":
Fin qui abbiamo mostrato che se \(f\circ f(z)=f(z)\) e se \(f(0)=0\) allora \(f(z)=z\) intorno a \(0\).
Il principio d'identità delle funzioni analitiche importa che $f(z)=z$ dappertutto.
Non mi è chiarissimo...per principio di identità delle funzioni analitiche ti riferisci ad un teorema chiamato anche proncipio del prolungamento analitico? Io ne conosco una formulazione leggermente diversa, ad ogmi modo mi sembra che tu dica date due funzioni analitiche $f,g$, se queste coincidono in un intorno di un punto allora coincidono dappertutto...Giusto?
Per il resto la dimostrazione del lemma mi sembra corretta e probabilmente è così che andava fatto l'esercizio, sulla questione $f(0)=0$ proprio non ho idea di come mostrare che discende dalle ipotesi...
L'errore mio sta nell'aver implicitamente supposto l'essere $J_f$ costante. In realtà non è detto che $J_f\ (f(z))$ sia uguale a $J_f\ (z)$, cosa che però ho usato nel post precedente.
Comunque sia, ragazzi, un attimo solo: pensandoci un secondo, è proprio immediato trovare punti fissi per $f$. Basta prendere un qualsiasi $z \in CC$, chiamare $z_0=f(z)$, e risulterà $f(z_0)=z_0$. Basta poi centrare tutti gli sviluppi del post precedente di Gugo in $z_0$ e trac, è fatta. No?
Comunque sia, ragazzi, un attimo solo: pensandoci un secondo, è proprio immediato trovare punti fissi per $f$. Basta prendere un qualsiasi $z \in CC$, chiamare $z_0=f(z)$, e risulterà $f(z_0)=z_0$. Basta poi centrare tutti gli sviluppi del post precedente di Gugo in $z_0$ e trac, è fatta. No?
@angus89 Il mio tentativo l'ho letteralmente buttato giù, nella speranza poi che si possa aggiustarlo!
@dissonance: Hai ragione!
Non mi ero accorto che me la potevo cavare con qualsiasi punto fisso di [tex]$f(z)$[/tex].
Insomma, posto [tex]$w_0:=f(z_0)$[/tex], si ha [tex]$f(w_0)=f\circ f(z_0)=f(z_0)=w_0$[/tex] e quindi si può ripetere il ragionamento sfruttando le espansioni in serie di potenze di [tex]$f(z)$[/tex] ed [tex]$f\circ f(z)$[/tex] centrate in [tex]$w_0$[/tex].
In tal modo per [tex]$f(z)$[/tex] intorno a [tex]$w_0$[/tex] si ottiene l'espansione [tex]$f(z)=w_0+(z-w_0)=z$[/tex]...
Quindi finito!
@angus89: Con principio d'identità delle funzioni analitiche intendo il seguente teorema:
A volte questo teorema è anche chiamato del prolungamento analitico, ma tale terminologia è inadatta a come lo enuncio di solito (cioè come sopra): infatti non si capirebbe chi dovrebbe essere il prolungamento di chi, tra [tex]$f(z)$[/tex] e [tex]$g(z)$[/tex].
Non mi ero accorto che me la potevo cavare con qualsiasi punto fisso di [tex]$f(z)$[/tex].
Insomma, posto [tex]$w_0:=f(z_0)$[/tex], si ha [tex]$f(w_0)=f\circ f(z_0)=f(z_0)=w_0$[/tex] e quindi si può ripetere il ragionamento sfruttando le espansioni in serie di potenze di [tex]$f(z)$[/tex] ed [tex]$f\circ f(z)$[/tex] centrate in [tex]$w_0$[/tex].
In tal modo per [tex]$f(z)$[/tex] intorno a [tex]$w_0$[/tex] si ottiene l'espansione [tex]$f(z)=w_0+(z-w_0)=z$[/tex]...
Quindi finito!
@angus89: Con principio d'identità delle funzioni analitiche intendo il seguente teorema:
Siano [tex]$\Omega\subseteq \mathbb{C}$[/tex] un aperto connesso ed [tex]$f,g:\Omega \to \mathbb{C}$[/tex] analitiche in [tex]$\Omega$[/tex] (i.e., sviluppabili in serie di potenze intorno ad ogni punto di [tex]$\Omega$[/tex]).
Sono equivalenti le seguenti proposizioni:
1. [tex]$f(z)=g(z)$[/tex] in [tex]$\Omega$[/tex];
2. esiste un [tex]$z_0\in \Omega$[/tex] tale che [tex]$f(z)=g(z)$[/tex] intorno a [tex]$z_0$[/tex];
3. esiste un [tex]$z_0\in \Omega$[/tex] tale che [tex]$f^{(n)}(z_0)=g^{(n)}(z_0)$[/tex] per ogni indice [tex]$n$[/tex];
4. esiste una successione di punti [tex]$(z_n)\subseteq \Omega$[/tex] tale che [tex]$f(z_n)=g(z_n)$[/tex] per ogni indice [tex]$n$[/tex] e [tex]$(z_n)$[/tex] ha un'accumulazione in [tex]$\Omega$[/tex].
A volte questo teorema è anche chiamato del prolungamento analitico, ma tale terminologia è inadatta a come lo enuncio di solito (cioè come sopra): infatti non si capirebbe chi dovrebbe essere il prolungamento di chi, tra [tex]$f(z)$[/tex] e [tex]$g(z)$[/tex].
@gugo82 Intendi dire questo 
"gugo82":od altro?
......4. esiste una successione di punti [tex]$(z_n)\subseteq \Omega$[/tex] tale che [tex]$f(z_n)=g(z_n)$[/tex] per ogni indice [tex]$n$[/tex] e [tex]$(z_n)$[/tex] ha un punto di accumulazione in [tex]$\Omega$[/tex]....
@j18eos: Sì, è solo un'altro modo di dire (più sintetico)...
Tuttavia mi si sono raffreddati un po' gli entusiasmi: infatti mi sono ricordato che il teorema sulla determinazione dei coefficienti della serie di Taylor di [tex]$f\circ f(z)$[/tex] a partire da quelli di [tex]$f(z)$[/tex] vale in [tex]$w_0$[/tex] se [tex]$f(w_0)=0$[/tex], ma non sono del tutto sicuro funzioni per [tex]$f(w_0)\neq 0$[/tex]... Quindi si dovrebbero rivedere i conti.
Tuttavia mi si sono raffreddati un po' gli entusiasmi: infatti mi sono ricordato che il teorema sulla determinazione dei coefficienti della serie di Taylor di [tex]$f\circ f(z)$[/tex] a partire da quelli di [tex]$f(z)$[/tex] vale in [tex]$w_0$[/tex] se [tex]$f(w_0)=0$[/tex], ma non sono del tutto sicuro funzioni per [tex]$f(w_0)\neq 0$[/tex]... Quindi si dovrebbero rivedere i conti.
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