Funzioni olomorfe
Ciao a tutti, sono nuovo del forum e ho la seguente domanda...alla quale io e la mia ragazza non riusciamo a rispondere...
Non abbiamo ben capito il concetto di funzione olomorfa...cioè ho visto su wikipedia che un esempio di funzione NON olomorfa è il valore assoluto in quanto non ammette la derivata in 0...mi chiedevo allora:
la funzione di variabile complessa 1/(z-1) è una funzione olomorfa (si o no e perchè???)
la funzione di variabile reale 1/(x-1) è una funz. olomorfa???
Inoltre non abbiamo capito il seguente teorema:
Se f(z) (con z variabile complessa) è olomorfa in un insieme A, chiamato B l'insieme degli zeri di f(z), se B è contenuto in A allora Dr(B) (insieme dei punti di accumulazione di B) è incluso in Fr(A)....
non capisco proprio il perchè...sapete aiutarci????
GRAZIE e scusate se sono stato prolisso...!!!
Non abbiamo ben capito il concetto di funzione olomorfa...cioè ho visto su wikipedia che un esempio di funzione NON olomorfa è il valore assoluto in quanto non ammette la derivata in 0...mi chiedevo allora:
la funzione di variabile complessa 1/(z-1) è una funzione olomorfa (si o no e perchè???)
la funzione di variabile reale 1/(x-1) è una funz. olomorfa???
Inoltre non abbiamo capito il seguente teorema:
Se f(z) (con z variabile complessa) è olomorfa in un insieme A, chiamato B l'insieme degli zeri di f(z), se B è contenuto in A allora Dr(B) (insieme dei punti di accumulazione di B) è incluso in Fr(A)....
non capisco proprio il perchè...sapete aiutarci????
GRAZIE e scusate se sono stato prolisso...!!!
Risposte
La funzione $1/(z-1)$ non è olomorfa su tutto $\CC$: $z=1$ è una singolarità isolata, più precisamente un polo del primo ordine.
Non ha poi nessun senso chiedersi se una funzione di variabile reale sia o no olomorfa; caso mai uno si potrebbe chiedere se è analitica, visto che in $\CC$ olomorfia e analiticità praticamente coincidono.
Non ha poi nessun senso chiedersi se una funzione di variabile reale sia o no olomorfa; caso mai uno si potrebbe chiedere se è analitica, visto che in $\CC$ olomorfia e analiticità praticamente coincidono.
Per quanto riguarda la questione dei punti d'accumulazione degli zeri di una funzione olomorfa, quel teoremino è un corollario del Principio d'identità delle funzioni analitiche.
Quest'ultimo teorema, raccontato senza entrare nei dettagli, dice che due funzioni analitiche in uno stesso aperto [tex]$A$[/tex] (che poi è lo stesso che dire olomorfe in [tex]$A$[/tex]) coincidenti su un insieme di punti avente un'accumulazione interna ad [tex]$A$[/tex] coincidono in realtà dappertutto dentro [tex]$A$[/tex].
Prendiamo ora [tex]$f:A\to \mathbb{C}$[/tex] analitica e non identicamente nulla in [tex]$A$[/tex] e diciamo [tex]$B$[/tex] l'insieme dei suoi zeri in [tex]$A$[/tex]: evidentemente [tex]$B$[/tex] può essere riguardato come l'insieme in cui [tex]$f$[/tex] coincide con la funzione nulla (la quale è analitica in [tex]$A$[/tex]).
Se si avesse [tex]$\mathcal{D} (B) \cap A \neq \varnothing$[/tex], l'insieme in cui [tex]$f$[/tex] coincide con la funzione nulla avrebbe un'accumulazione interna ad [tex]$A$[/tex], perciò (per il principio d'identità) si avrebbe [tex]$f=0$[/tex] ovunque in [tex]$A$[/tex]; ma ciò è assurdo, perchè [tex]$f$[/tex] è stata presa non identicamente nulla.
Pertanto non si può avere [tex]$\mathcal{D} (B) \cap A \neq \varnothing$[/tex]: da ciò segue che [tex]$\mathcal{D} (B) \subseteq \mathbb{C} \setminus A$[/tex] (insomma l'insieme delle accumulazioni di [tex]$B$[/tex] non può stare dentro [tex]$A$[/tex]).
D'altra parte, non possono esistere punti di [tex]$\mathcal{D} (B)$[/tex] esterni ad [tex]$A$[/tex]: infatti, se [tex]$\zeta \in \mathcal{D} (B)$[/tex] stesse fuori da [tex]$A$[/tex] (ossia se si avesse [tex]$\zeta \in \mathbb{C} \setminus (A \cup \partial A)$[/tex]), allora esisterebbe per la definizione di punto d'accumulazione un [tex]$z\in B$[/tex] molto vicino a [tex]$\zeta$[/tex]; ma ciò è impossibile, perchè se [tex]$z$[/tex] è molto vicino a [tex]$\zeta$[/tex] si ha [tex]$z\notin A\cup \partial A$[/tex], contro il fatto che [tex]$z\in B\subseteq A$[/tex]. Ne consegue che [tex]$\mathcal{D} (B)$[/tex] non può avere punti all'esterno di [tex]$A$[/tex].
Quindi abbiamo:
[tex]$\mathcal{D} (B) \cap A =\varnothing$[/tex] e [tex]$\mathcal{D} (B) \cap \mathbb{C} \setminus (A\cup \partial A) =\varnothing$[/tex]
cioè [tex]$\mathcal{D} (B)$[/tex] non sta né dentro [tex]$A$[/tex], né fuori; tirando le somme, ciò equivale a dire che [tex]$\mathcal{D} (B) \subseteq \partial A$[/tex], cioè che [tex]$\mathcal{D} (B)$[/tex] è sulla frontiera di [tex]$A$[/tex].
Quest'ultimo teorema, raccontato senza entrare nei dettagli, dice che due funzioni analitiche in uno stesso aperto [tex]$A$[/tex] (che poi è lo stesso che dire olomorfe in [tex]$A$[/tex]) coincidenti su un insieme di punti avente un'accumulazione interna ad [tex]$A$[/tex] coincidono in realtà dappertutto dentro [tex]$A$[/tex].
Prendiamo ora [tex]$f:A\to \mathbb{C}$[/tex] analitica e non identicamente nulla in [tex]$A$[/tex] e diciamo [tex]$B$[/tex] l'insieme dei suoi zeri in [tex]$A$[/tex]: evidentemente [tex]$B$[/tex] può essere riguardato come l'insieme in cui [tex]$f$[/tex] coincide con la funzione nulla (la quale è analitica in [tex]$A$[/tex]).
Se si avesse [tex]$\mathcal{D} (B) \cap A \neq \varnothing$[/tex], l'insieme in cui [tex]$f$[/tex] coincide con la funzione nulla avrebbe un'accumulazione interna ad [tex]$A$[/tex], perciò (per il principio d'identità) si avrebbe [tex]$f=0$[/tex] ovunque in [tex]$A$[/tex]; ma ciò è assurdo, perchè [tex]$f$[/tex] è stata presa non identicamente nulla.
Pertanto non si può avere [tex]$\mathcal{D} (B) \cap A \neq \varnothing$[/tex]: da ciò segue che [tex]$\mathcal{D} (B) \subseteq \mathbb{C} \setminus A$[/tex] (insomma l'insieme delle accumulazioni di [tex]$B$[/tex] non può stare dentro [tex]$A$[/tex]).
D'altra parte, non possono esistere punti di [tex]$\mathcal{D} (B)$[/tex] esterni ad [tex]$A$[/tex]: infatti, se [tex]$\zeta \in \mathcal{D} (B)$[/tex] stesse fuori da [tex]$A$[/tex] (ossia se si avesse [tex]$\zeta \in \mathbb{C} \setminus (A \cup \partial A)$[/tex]), allora esisterebbe per la definizione di punto d'accumulazione un [tex]$z\in B$[/tex] molto vicino a [tex]$\zeta$[/tex]; ma ciò è impossibile, perchè se [tex]$z$[/tex] è molto vicino a [tex]$\zeta$[/tex] si ha [tex]$z\notin A\cup \partial A$[/tex], contro il fatto che [tex]$z\in B\subseteq A$[/tex]. Ne consegue che [tex]$\mathcal{D} (B)$[/tex] non può avere punti all'esterno di [tex]$A$[/tex].
Quindi abbiamo:
[tex]$\mathcal{D} (B) \cap A =\varnothing$[/tex] e [tex]$\mathcal{D} (B) \cap \mathbb{C} \setminus (A\cup \partial A) =\varnothing$[/tex]
cioè [tex]$\mathcal{D} (B)$[/tex] non sta né dentro [tex]$A$[/tex], né fuori; tirando le somme, ciò equivale a dire che [tex]$\mathcal{D} (B) \subseteq \partial A$[/tex], cioè che [tex]$\mathcal{D} (B)$[/tex] è sulla frontiera di [tex]$A$[/tex].
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